什么是运动？
如果一个物体的位置随时间改变，它就在运动；位置不变，就是静止。
要说清物体在哪里，需要一个参照点（也叫原点）。比如：“学校在汽车站北边2公里。”这里汽车站就是参照点。
运动与观察者有关。坐在行驶的公共汽车里的乘客，相对于旁边的人是静止的，相对于站在路边的人却是运动的。
这一课我们只研究直线上的运动。
路程和位移
路程是走过的路线的总长度，只有大小。只有大小的量叫标量。
位移是从起点到终点的最短直线距离，并且带有方向。既有大小又有方向的量叫矢量。
- 路程不会是负数；位移可以是正、负或零。
- 如果回到起点，位移 = 0，但路程不是0。
- 位移的大小永远不会超过路程。
例子：你向东走40米，再向西走15米。路程 = 55米，位移 = 向东25米。
两者的国际单位都是米（m）。
匀速运动和变速运动
匀速运动是指在相等的时间内走过相等的路程，不管把时间分得多小都一样。在3D里，每秒留下的点间隔相等。
变速运动是指在相等的时间内走过的路程不相等，比如堵车时的公共汽车。
速率和速度
速率 = 路程 ÷ 时间。它说明运动得多快，是标量。
速度 = 位移 ÷ 时间。它说明运动得多快，还说明朝哪个方向，是矢量。
两者的国际单位都是m/s（也写作 m s⁻¹），常用的还有 km/h。把 km/h 换成 m/s，要乘以 5/18。例如：72 km/h = 72 × 5/18 = 20 m/s。
平均速率 = 总路程 ÷ 总时间。
平均速度 = 总位移 ÷ 总时间。如果速度均匀变化，平均速度 = (u + v) ÷ 2，其中u是初速度，v是末速度。
速率变了、方向变了，或者两者都变了，速度就会变。汽车在圆形跑道上以不变的速率行驶，速度仍然在变，因为方向一直在变（这叫匀速圆周运动）。
加速度
加速度说明速度变化得有多快。
a = (v − u) ÷ t
其中u = 初速度，v = 末速度，t = 所用时间。国际单位：m/s²。
- 速度增大时，a为正（与运动方向相同）。
- 速度减小时，a为负。这叫减速，比如汽车刹车。
- 匀加速：在相等的时间内，速度的变化量相等（自由下落的石头、匀速加速的汽车）。
- 变加速：在相等的时间内，速度的变化量不相等（堵车时的汽车）。
路程–时间图像
横轴表示时间，纵轴表示路程。
- 静止的物体：一条水平的直线。
- 匀速运动：一条倾斜的直线。斜率（竖直增量 ÷ 水平增量）= 速率。线越陡，物体越快。
- 越跑越快：一条越来越陡的曲线（3D里的灰线和蓝色曲线）。
想从图像求速率，取两个点 (t₁, s₁) 和 (t₂, s₂)。速率 = (s₂ − s₁) ÷ (t₂ − t₁)。
速度–时间图像
横轴表示时间，纵轴表示速度。
- 速度不变：一条水平线。线下方的面积（长方形）= 速度 × 时间 = 路程。
- 匀加速：一条倾斜的直线，它的斜率 = 加速度。
- 匀减速：一条向下倾斜的直线。
- 变加速：一条曲线。
v–t图下方的面积 = 位移（沿一个方向运动时就是路程）。例如汽车从静止开始，7秒后达到14 m/s，面积 = ½ × 7 × 14 = 49 m。
运动公式（图像法推导）
直线上的匀加速运动有三个公式。看一张v–t图：直线从速度u（t = 0时）出发，经过时间t后到达v。
1. 速度–时间关系：v = u + at
直线的斜率 = a = (v − u) ÷ t。整理后得 v = u + at。
2. 位移–时间关系：s = ut + ½at²
路程 = 线下方的面积 = 长方形 (u × t) + 三角形 (½ × t × (v − u))。因为 v − u = at，所以 s = ut + ½ × t × at = ut + ½at²。
3. 位移–速度关系：v² = u² + 2as
面积是一个梯形：s = ½ × (u + v) × t。代入 t = (v − u) ÷ a：s = (v + u)(v − u) ÷ 2a = (v² − u²) ÷ 2a。所以 v² = u² + 2as。
小提示：“从静止开始”表示 u = 0。“停下来”表示 v = 0。刹车时a为负。所有单位都要统一成米、秒和 m/s。
动手试试：测一测你自己的速度
在小路或操场上画一段20米的直线（大约26个大步，或者用卷尺量）。请朋友用手机秒表给你计时。
- 走完这20米，记下时间。速率 = 20 ÷ 时间。
- 再跑一次。你的速率更大吗？
- 请朋友每2秒报一次你的位置，然后画出你自己的路程–时间图像。它是一条直线吗？
在3D的自由练习步骤里，先预测：u = 0，a = 2 m/s²，小车5秒内走多远？然后再验证（答案：25 m）。
重点公式和概念
- 速率 = 路程 ÷ 时间；速度 = 位移 ÷ 时间
- 平均速率 = 总路程 ÷ 总时间
- 平均速度（匀加速）= (u + v) ÷ 2
- 加速度 a = (v − u) ÷ t （单位 m/s²）
- v = u + at
- s = ut + ½at²
- v² = u² + 2as
- km/h → m/s：乘以 5/18；m/s → km/h：乘以 18/5
- s–t图的斜率 = 速率；v–t图的斜率 = 加速度；v–t图下方的面积 = 位移
例题讲解
1. 一个女孩向北走300米到商店，再向南走100米到朋友家。求路程和位移。
路程 = 300 + 100 = 400 m。位移 = 300 − 100 = 200 m，方向向北。
2. 一辆公共汽车3小时行驶180公里。求它的平均速率，分别用 km/h 和 m/s 表示。
平均速率 = 180 ÷ 3 = 60 km/h。换成 m/s：60 × 5/18 = 16.7 m/s（约）。
3. 一名跑步者绕半径35 m的圆形跑道跑一圈，用时44 s。求路程、位移和平均速率。
路程 = 周长 = 2πr = 2 × 22/7 × 35 = 220 m。位移 = 0（他回到了起点）。平均速率 = 220 ÷ 44 = 5 m/s。平均速度 = 0 ÷ 44 = 0。
4. 一辆小型摩托车在4 s内由5 m/s加速到15 m/s。求它的加速度。
a = (v − u) ÷ t = (15 − 5) ÷ 4 = 10 ÷ 4 = 2.5 m/s²。
5. 一辆汽车从静止开始，以2 m/s²的加速度加速7 s。求末速度和走过的路程。
u = 0，a = 2 m/s²，t = 7 s。v = u + at = 0 + 2 × 7 = 14 m/s。s = ut + ½at² = 0 + ½ × 2 × 49 = 49 m。（用v–t图验证：三角形面积 = ½ × 7 × 14 = 49 m。）
6. 一辆汽车以72 km/h行驶，刹车后5 s停下。求减速的加速度和刹车距离。
u = 72 × 5/18 = 20 m/s，v = 0，t = 5 s。a = (0 − 20) ÷ 5 = −4 m/s²（减速度大小为4 m/s²）。s = ut + ½at² = 20 × 5 + ½ × (−4) × 25 = 100 − 50 = 50 m。
7. 一列火车速度为10 m/s，以0.5 m/s²的加速度匀加速行驶300 m。末速度是多少？
用 v² = u² + 2as = 10² + 2 × 0.5 × 300 = 100 + 300 = 400。v = 20 m/s。
8. 在v–t图上，一辆小车的速度在3 s内沿直线从0升到6 m/s，然后以6 m/s保持4 s。求第一段的加速度和总路程。
第一段：斜率 = 6 ÷ 3 = 2 m/s²。路程 = 面积 = 三角形 + 长方形 = ½ × 3 × 6 + 6 × 4 = 9 + 24 = 33 m。
常见错误
- 以为路程和位移总是相等。只有物体沿直线朝一个方向运动时，两者才相等。
- 用公式前忘了把 km/h 换成 m/s。要乘以 5/18。
- 刹车时仍然把a写成正数。速度减小时，a要带负号。
- 把s–t图的斜率当成加速度。s–t图的斜率是速率；v–t图的斜率才是加速度。