参考系：你从哪里量起？
运动总是相对的。要说明一个物体在哪里，就需要一个参考系：一个原点（零点）、一个规定的正方向和一只读时间的时钟。
坐在行驶火车里的乘客，相对于火车是静止的，相对于站台却是运动的。两种说法都对，只是选的参考系不同。
在一条直线上，一个带正负号的数 x 就能表示位置。位移 Δx = x₂ − x₁ 是位置的变化；路程是走过的全部路线长度，永远是正数。
匀速运动和变速运动
匀速运动：在相等的时间间隔内位移相等，不管间隔取得多小。速度不变，x–t 图像是一条直线。
变速运动：在相等的时间间隔内位移不相等。速度在变，x–t 图像是曲线。
平均速度、平均速率与瞬时速度、瞬时速率
平均速度 = 位移 ÷ 时间 = Δx/Δt。平均速率 = 总路程 ÷ 时间。如果你走 100 m 再走回来，总共用 50 s，那么平均速度是 0，平均速率却是 4 m/s。
瞬时速度是某一时刻的速度：v = lim(Δt→0) Δx/Δt = dx/dt。在 x–t 图像上，它是切线的斜率。瞬时速率就是瞬时速度的大小。
平均速率总是 ≥ 平均速度的大小；只有物体从不往回走时，两者才相等。
运动中用到的简单求导与积分
你只需要几条规则：d/dt(tⁿ) = n tⁿ⁻¹，d/dt(常数) = 0，∫tⁿ dt = tⁿ⁺¹/(n + 1) + C。
- x = 5t² → v = dx/dt = 10t → a = dv/dt = 10 m/s²。
- a = 4 → v = ∫4 dt = 4t + u → x = ∫v dt = 2t² + ut + x₀。
求导的方向是 x → v → a（取斜率）。积分的方向是 a → v → x（取面积），起始值 u 和 x₀ 用来确定积分常数。
加速度与匀变速直线运动
加速度是速度变化的快慢：平均加速度 a = Δv/Δt，瞬时加速度 a = dv/dt（单位 m/s²）。如果每一时刻的 a 都相同，这种运动就是匀变速运动；地球附近的自由落体是最好的例子（a = g ≈ 9.8 m/s²，方向向下）。
a 为负数，不一定表示在减速。只有当 v 和 a 的符号相反时，物体才在减速。
位置–时间图像和速度–时间图像
- x–t 图像：斜率 = 速度。直线 → 速度不变；向上弯的曲线 → 沿正方向越来越快；水平线 → 静止。
- v–t 图像：斜率 = 加速度；图线与时间轴之间的面积 = 位移（时间轴下方的面积算负值）。
- a–t 图像：面积 = 速度的变化量。
一幅图像在同一时刻不可能给出两个位置，速率也永远不会是负数。
用图像和微积分推导运动公式
图像法（v–t 图是从 u 到 v 的一条直线）
斜率：a = (v − u)/t → v = u + at。面积 = 矩形 ut + 三角形 ½·t·(at) → s = ut + ½at²。把面积看成梯形 s = ½(u + v)t，代入 t = (v − u)/a → v² = u² + 2as。
微积分法
dv/dt = a → ∫ᵤᵛ dv = ∫₀ᵗ a dt → v = u + at。dx/dt = u + at → ∫dx = ∫(u + at)dt → x − x₀ = ut + ½at²。还有 a = v dv/dx → ∫v dv = ∫a dx → v² − u² = 2a(x − x₀)。
第 n 秒内的位移：sₙ = u + a(2n − 1)/2。这些公式只在 a 恒定时才成立。
重点公式和概念
- v = dx/dt, a = dv/dt = v·dv/dx
- v = u + at
- s = ut + ½at²
- v² = u² + 2as
- s = ½(u + v)t, sₙ = u + a(2n − 1)/2
- 平均速度 = Δx/Δt；平均速率 = 路程/时间
例题讲解
1. 一名跑步者沿 400 m 的环形跑道跑一圈，用时 80 s 回到起点。求平均速率和平均速度。
第 1 步：路程 = 400 m，位移 = 0。 第 2 步：平均速率 = 400/80 = 5 m/s。 第 3 步：平均速度 = 0/80 = 0。
2. 一个质点的位置为 x = 3t² − 2t + 4（x 的单位是 m，t 的单位是 s）。求 t = 2 s 时的速度和加速度。
第 1 步：v = dx/dt = 6t − 2。 第 2 步：t = 2 s 时，v = 12 − 2 = 10 m/s。 第 3 步：a = dv/dt = 6 m/s²（恒定）。
3. 一辆汽车从静止出发，a = 2 m/s²。求 5 s 后它的速度和走过的距离。
第 1 步：u = 0，a = 2，t = 5。 第 2 步：v = u + at = 0 + 10 = 10 m/s。 第 3 步：s = ut + ½at² = 0 + ½ × 2 × 25 = 25 m。
4. 一辆摩托车以 20 m/s 行驶，刹车时加速度大小为 5 m/s²（做减速运动）。它停下之前还能走多远？
第 1 步：u = 20，v = 0，a = −5。 第 2 步：v² = u² + 2as → 0 = 400 − 10s。 第 3 步：s = 40 m。
5. 一个球从 45 m 高的楼上落下（g = 10 m/s²）。求落到地面的时间和落地时的速度。
第 1 步：取向下为正：u = 0，a = 10，s = 45。 第 2 步：s = ½gt² → 45 = 5t² → t = 3 s。 第 3 步：v = gt = 30 m/s。
6. 一条 v–t 直线图像，从 t = 0 时的 4 m/s 变到 t = 6 s 时的 16 m/s。求加速度和位移。
第 1 步：a = 斜率 = (16 − 4)/6 = 2 m/s²。 第 2 步：位移 = 梯形面积 = ½(4 + 16) × 6 = 60 m。 第 3 步：检验：s = ut + ½at² = 24 + 36 = 60 m ✓。
7. 一个物体沿直线运动，u = 3 m/s，a = 2 m/s²。求它在第 5 秒内走过的距离。
第 1 步：sₙ = u + a(2n − 1)/2。 第 2 步：s₅ = 3 + 2 × 9/2 = 3 + 9 = 12 m。 第 3 步：检验：s(5) − s(4) = (15 + 25) − (12 + 16) = 40 − 28 = 12 m ✓。
8. 一个质点的加速度为 a = 6t m/s²，从 x = 0 处由静止开始运动。求 t = 2 s 时的 v 和 x。
第 1 步：a 不是常数，所以要用微积分，不能用 v = u + at。 第 2 步：v = ∫₀ᵗ 6t dt = 3t² → v(2) = 12 m/s。 第 3 步：x = ∫₀ᵗ 3t² dt = t³ → x(2) = 8 m。
常见错误
- 加速度随时间变化时，还在用 v = u + at 或 s = ut + ½at²。这时要改用微积分。
- 把路程和位移当成一回事。物体往回走时，两者就不同了。
- 忘了正负号：一旦选定向上（或向右）为正，向上运动时 g 就是 −9.8 m/s²。
- 把 x–t 图像下的面积当成位移。只有 v–t 图像下的面积才是位移。