Referencial: de onde você está medindo?
O movimento é sempre relativo. Para dizer onde algo está, precisamos de um referencial: uma origem (ponto zero), um sentido positivo escolhido e um relógio para marcar o tempo.
Um passageiro sentado num trem em movimento está parado em relação ao trem, mas em movimento em relação à plataforma. As duas respostas estão certas; elas usam referenciais diferentes.
Em linha reta, um único número x (com sinal) indica a posição. O deslocamento Δx = x₂ − x₁ é a mudança de posição; a distância percorrida é todo o caminho andado, sempre positiva.
Movimento uniforme e não uniforme
Movimento uniforme: deslocamentos iguais em intervalos de tempo iguais, por menores que sejam. A velocidade é constante e o gráfico x–t é uma reta.
Movimento não uniforme: deslocamentos diferentes em intervalos de tempo iguais. A velocidade muda e o gráfico x–t é curvo.
Velocidade e rapidez, média e instantânea
Velocidade média = deslocamento ÷ tempo = Δx/Δt. Rapidez média (velocidade escalar média) = distância total percorrida ÷ tempo. Se você anda 100 m e volta em 50 s, a velocidade média é 0, mas a rapidez média é 4 m/s.
Velocidade instantânea é a velocidade em um único instante: v = lim(Δt→0) Δx/Δt = dx/dt. No gráfico x–t, é a inclinação da tangente. A rapidez instantânea é o módulo da velocidade instantânea.
A rapidez média é sempre ≥ o módulo da velocidade média; elas só são iguais se o objeto nunca volta atrás.
Derivadas e integrais simples para o movimento
Você só precisa de poucas regras: d/dt(tⁿ) = n tⁿ⁻¹, d/dt(constante) = 0 e ∫tⁿ dt = tⁿ⁺¹/(n + 1) + C.
- x = 5t² → v = dx/dt = 10t → a = dv/dt = 10 m/s².
- a = 4 → v = ∫4 dt = 4t + u → x = ∫v dt = 2t² + ut + x₀.
Derivar vai de x → v → a (inclinações). Integrar vai de a → v → x (áreas), e os valores iniciais u e x₀ preenchem as constantes.
Aceleração e movimento uniformemente acelerado
Aceleração é a taxa de variação da velocidade: a média = Δv/Δt, a instantânea = dv/dt (unidade m/s²). Quando a é igual em todos os instantes, o movimento é uniformemente acelerado; um corpo em queda livre perto da Terra é o melhor exemplo (a = g ≈ 9,8 m/s², para baixo).
Um a negativo nem sempre significa que o corpo está freando. O objeto só desacelera quando v e a têm sinais opostos.
Gráficos posição–tempo e velocidade–tempo
- Gráfico x–t: inclinação = velocidade. Reta → velocidade uniforme; curva para cima → acelerando no sentido +; linha horizontal → em repouso.
- Gráfico v–t: inclinação = aceleração; área entre o gráfico e o eixo do tempo = deslocamento (a área abaixo do eixo conta como negativa).
- Gráfico a–t: área = variação da velocidade.
Um gráfico nunca pode mostrar duas posições no mesmo instante, e a rapidez nunca é negativa.
Equações do movimento por gráficos e por cálculo
Método gráfico (reta v–t de u até v)
Inclinação: a = (v − u)/t → v = u + at. Área = retângulo ut + triângulo ½·t·(at) → s = ut + ½at². Área como trapézio s = ½(u + v)t; coloque t = (v − u)/a → v² = u² + 2as.
Método do cálculo
dv/dt = a → ∫ᵤᵛ dv = ∫₀ᵗ a dt → v = u + at. dx/dt = u + at → ∫dx = ∫(u + at)dt → x − x₀ = ut + ½at². Também a = v dv/dx → ∫v dv = ∫a dx → v² − u² = 2a(x − x₀).
Distância percorrida no n-ésimo segundo: sₙ = u + a(2n − 1)/2. Essas equações só valem quando a é constante.
Fórmulas e definições principais
- v = dx/dt, a = dv/dt = v·dv/dx
- v = u + at
- s = ut + ½at²
- v² = u² + 2as
- s = ½(u + v)t, sₙ = u + a(2n − 1)/2
- Velocidade média = Δx/Δt; rapidez média = distância percorrida/tempo
Exemplos resolvidos
1. Um corredor dá uma volta de 400 m numa pista circular e volta ao ponto de partida em 80 s. Calcule a rapidez média e a velocidade média.
Passo 1: distância percorrida = 400 m, deslocamento = 0. Passo 2: rapidez média = 400/80 = 5 m/s. Passo 3: velocidade média = 0/80 = 0.
2. A posição de uma partícula é x = 3t² − 2t + 4 (x em m, t em s). Calcule a velocidade e a aceleração em t = 2 s.
Passo 1: v = dx/dt = 6t − 2. Passo 2: em t = 2 s, v = 12 − 2 = 10 m/s. Passo 3: a = dv/dt = 6 m/s² (constante).
3. Um carro parte do repouso com a = 2 m/s². Calcule sua velocidade e a distância percorrida após 5 s.
Passo 1: u = 0, a = 2, t = 5. Passo 2: v = u + at = 0 + 10 = 10 m/s. Passo 3: s = ut + ½at² = 0 + ½ × 2 × 25 = 25 m.
4. Uma moto a 20 m/s freia com desaceleração de 5 m/s². Que distância ela percorre até parar?
Passo 1: u = 20, v = 0, a = −5. Passo 2: v² = u² + 2as → 0 = 400 − 10s. Passo 3: s = 40 m.
5. Uma bola é solta do alto de um prédio de 45 m (g = 10 m/s²). Calcule o tempo até chegar ao chão e a velocidade ao atingi-lo.
Passo 1: tome o sentido para baixo como positivo: u = 0, a = 10, s = 45. Passo 2: s = ½gt² → 45 = 5t² → t = 3 s. Passo 3: v = gt = 30 m/s.
6. Um gráfico v–t é uma reta que vai de 4 m/s em t = 0 a 16 m/s em t = 6 s. Calcule a aceleração e o deslocamento.
Passo 1: a = inclinação = (16 − 4)/6 = 2 m/s². Passo 2: deslocamento = área do trapézio = ½(4 + 16) × 6 = 60 m. Passo 3: conferindo: s = ut + ½at² = 24 + 36 = 60 m ✓.
7. Um corpo com u = 3 m/s e a = 2 m/s² move-se em linha reta. Calcule a distância percorrida no 5º segundo.
Passo 1: sₙ = u + a(2n − 1)/2. Passo 2: s₅ = 3 + 2 × 9/2 = 3 + 9 = 12 m. Passo 3: conferindo: s(5) − s(4) = (15 + 25) − (12 + 16) = 40 − 28 = 12 m ✓.
8. A aceleração de uma partícula é a = 6t m/s². Ela parte do repouso em x = 0. Calcule v e x em t = 2 s.
Passo 1: a não é constante, então use cálculo, não v = u + at. Passo 2: v = ∫₀ᵗ 6t dt = 3t² → v(2) = 12 m/s. Passo 3: x = ∫₀ᵗ 3t² dt = t³ → x(2) = 8 m.
Erros comuns
- Usar v = u + at ou s = ut + ½at² quando a aceleração muda com o tempo. Use cálculo.
- Tratar distância percorrida e deslocamento como a mesma coisa. Eles diferem quando o corpo volta atrás.
- Esquecer os sinais: se você escolhe para cima (ou para a direita) como positivo, g é −9,8 m/s² no movimento de subida.
- Ler a área sob o gráfico x–t como deslocamento. Só a área sob o gráfico v–t dá o deslocamento.