स्थिति और संवेग एक साथ
बड़ी चीज़ों की दुनिया में हम ठीक बता सकते हैं कि कार कहाँ है और कितनी तेज़ जा रही है। इलेक्ट्रॉन के लिए यह अलग है, क्योंकि इलेक्ट्रॉन तरंग की तरह बर्ताव करता है।
बहुत फैली हुई तरंग की तरंगदैर्ध्य साफ़ होती है (इसलिए संवेग साफ़, p = h/λ) पर स्थिति साफ़ नहीं। छोटी जगह में दबाई तरंग की स्थिति साफ़ होती है पर वह कई तरंगदैर्ध्यों का मिश्रण होती है, इसलिए संवेग अनिश्चित हो जाता है।
नियम: Δx · Δp ≥ ħ/2
वर्नर हाइज़ेनबर्ग ने इसे नियम की तरह लिखा:
Δx · Δp ≥ ħ/2, जहाँ ħ = h/2π ≈ 1.05 × 10⁻³⁴ J s। कुछ किताबें Δx · Δp ≥ h/4π लिखती हैं, जो वही है।
Δx स्थिति की अनिश्चितता है और Δp संवेग की अनिश्चितता (द्रव्यमान × वेग, यानी Δp = m Δv)। यह नियम ख़राब यंत्रों की वजह से नहीं है। पूरी तरह सही यंत्रों के साथ भी यह सच रहता है।
बड़ी वस्तुओं के लिए ħ इतना छोटा है कि अनिश्चितता महसूस नहीं होती। इलेक्ट्रॉन के लिए यह बहुत बड़ी है।
बोर की कक्षाएँ क्यों असफल हुईं और कक्षक कैसे आए
बोर ने इलेक्ट्रॉनों को साफ़ गोल रास्तों पर बनाया। इसके लिए ठीक स्थिति और ठीक चाल एक साथ चाहिए, जिसे अनिश्चितता सिद्धांत मना करता है।
आधुनिक मॉडल कहता है: हम रास्ता नहीं बता सकते। हम हर जगह इलेक्ट्रॉन मिलने की संभावना बता सकते हैं। जिस क्षेत्र में यह संभावना ज़्यादा है, वह कक्षक (orbital) है। सबसे निचली अवस्था (1s) का कक्षक नाभिक के चारों ओर गोल धुँधली गेंद है, जो केंद्र के पास सबसे घनी है। दूसरे कक्षकों (p, d) के आकार अलग हैं।
बादल को नाभिक तक सिकोड़ने से इलेक्ट्रॉन बहुत तेज़ चलेगा (Δp बड़ा), जिसमें बहुत ऊर्जा लगती है। परमाणु उस आकार पर टिकता है जहाँ ये दोनों संतुलित हों।
अनिश्चितता का आकार: दो झटपट अनुमान
परमाणु में इलेक्ट्रॉन: Δx ≈ 10⁻¹⁰ m। तब Δp ≥ ħ/(2Δx) ≈ 5.3 × 10⁻²⁵ kg m/s, और m = 9.1 × 10⁻³¹ kg से Δv ≈ 5.8 × 10⁵ m/s। यह बहुत बड़ा है।
क्रिकेट गेंद (m = 0.15 kg) जिसकी स्थिति Δx = 10⁻³ m तक पता है: Δp ≥ 5.3 × 10⁻³² kg m/s, Δv ≈ 3.5 × 10⁻³¹ m/s। यह इतना छोटा है कि कभी दिखेगा नहीं।
खुद करके देखो
3D में स्लाइडर 3 पर रखो। Δx, Δp और गुणनफल पढ़ो। स्लाइडर 1 पर करो। फिर पढ़ो। दोनों गुणनफल लिखो। पहले अनुमान लगाओ: क्या गुणनफल बदलेगा?
घर पर: दोस्त के साथ ढीली रस्सी में तरंग बनाओ। एक सिरा धीरे हिलाओ: लंबी तरंग। तेज़ और छोटा हिलाओ: छोटा उभार। किसकी तरंगदैर्ध्य ज़्यादा साफ़ है?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- Δx · Δp ≥ ħ/2 (ħ = h/2π)
- इसे Δx · Δp ≥ h/4π भी लिखते हैं
- Δp = m Δv
- ħ ≈ 1.05 × 10⁻³⁴ J s; h ≈ 6.63 × 10⁻³⁴ J s
- Δx छोटा → Δp बड़ा
हल किए गए उदाहरण
1. स्थिति का फैलाव Δx आधा करने पर सबसे छोटा संभव Δp का क्या होगा?
Δp ≥ ħ/(2Δx)। Δx आधा तो सबसे छोटा Δp दोगुना।
2. इलेक्ट्रॉन के लिए Δx = 10⁻¹⁰ m। न्यूनतम Δp निकालो। (ħ = 1.05 × 10⁻³⁴ J s)
Δp ≥ ħ/(2Δx) = 1.05 × 10⁻³⁴ ÷ (2 × 10⁻¹⁰) = 5.3 × 10⁻²⁵ kg m/s।
3. ऊपर के Δp से इलेक्ट्रॉन का Δv निकालो (m = 9.1 × 10⁻³¹ kg)।
Δv = Δp/m = 5.3 × 10⁻²⁵ ÷ 9.1 × 10⁻³¹ ≈ 5.8 × 10⁵ m/s।
4. 0.15 kg की गेंद का Δx = 10⁻³ m है। न्यूनतम Δv निकालो।
Δp ≥ 1.05 × 10⁻³⁴ ÷ (2 × 10⁻³) = 5.3 × 10⁻³² kg m/s। Δv = 5.3 × 10⁻³² ÷ 0.15 ≈ 3.5 × 10⁻³¹ m/s। महसूस करने के लिए बहुत छोटा।
5. ħ = 1 वाली इकाइयों में एक कण का Δx = 0.5 है। सबसे छोटा Δp निकालो।
Δp ≥ 1/(2 × 0.5) = 1।
6. उन्हीं इकाइयों में Δp ठीक 0.25 नापा गया। सबसे छोटा Δx क्या है?
Δx ≥ 1/(2 × 0.25) = 2।
आम गलतियाँ
- यह सोचना कि सिद्धांत भोंडे यंत्रों की वजह से है। यह प्रकृति में तरंगों का गुण है।
- यह सोचना कि इसका मतलब कुछ भी जाना नहीं जा सकता। कोई एक राशि साफ़ जानी जा सकती है; सीमा जोड़ी पर है।
- Δx · Δp ≥ ħ/2 में ħ = h/2π लेना भूल जाना।
- यह सोचना कि भारी गेंद "ज़्यादा अनिश्चित" है। वह कम दिखती है क्योंकि ħ उसके द्रव्यमान की तुलना में बहुत छोटा है।