संरचनात्मक पदार्थों के यांत्रिक गुण
छड़ को धीरे-धीरे खींचो और प्रतिबल (σ = F/A) को विकृति (ε = ΔL/L) के विरुद्ध खींचो। शुरू में रेखा सीधी होती है: हुक का नियम σ = E·ε। ढाल E यंग गुणांक है, यानी पदार्थ की कठोरता। लगभग मान: इस्पात 200 GPa, कंक्रीट 30 GPa, लकड़ी (रेशे की दिशा में) 10 GPa।
- प्रत्यास्थ: भार हटाने पर छड़ अपनी लंबाई पर लौट आती है।
- पराभव सामर्थ्य (Yield): जिस प्रतिबल पर इस्पात स्थायी रूप से बढ़ने लगता है।
- चरम सामर्थ्य: टूटने से पहले का सबसे ज़्यादा प्रतिबल।
- तन्य (ductile) पदार्थ (इस्पात) टूटने से पहले बहुत खिंचते हैं और चेतावनी देते हैं। भंगुर (brittle) पदार्थ (खिंचाव में कंक्रीट, काँच) अचानक टूटते हैं।
छड़ का प्रसार: ΔL = F·L / (A·E)।
काट के गुण
काट का आकार तय करता है कि सदस्य झुकने का कितना सामना करेगा। मुख्य संख्याएँ:
- क्षेत्रफल A: खिंचाव और दबाव के लिए। आयत A = b·h।
- केंद्रक: आकार का संतुलन बिंदु; उदासीन अक्ष इसी से गुज़रता है।
- द्वितीय आघूर्ण I: आयत I = b·h³/12; वृत्त I = π·d⁴/64।
- काट मापांक Z = I / y, जहाँ y बाहरी किनारे तक की दूरी है। आयत: Z = b·h²/6।
झुकाव प्रतिबल: σ = M / Z। गहराई I में h³ और Z में h² की तरह आती है, इसलिए उतना ही पदार्थ गहराई में रखने पर कहीं ज़्यादा मज़बूत होता है (I-काट, बॉक्स काट)।
बीम और सदस्यों का विरूपण
भार पड़ने पर सदस्य विकृत होते हैं। छड़ की लंबाई ΔL = FL/(AE) बदलती है। बीम झुकती है और उसका बीच का हिस्सा विक्षेप δ से नीचे जाता है:
- सरल टिका, बीच में भार P: δ = P·L³ / (48·E·I)
- सरल टिका, समान भार w: δ = 5·w·L⁴ / (384·E·I)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार P: δ = P·L³ / (3·E·I)
E·I को नमनीय कठोरता कहते हैं। पाट दुगुना करने पर झुकाव 8 गुना (बिंदु भार); गहराई दुगुनी करने पर 8 गुना कम। नियम-पुस्तकों में झुकाव लगभग पाट/250 तक सीमित रखते हैं ताकि फ़र्श हिले नहीं और पलस्तर न चटके।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- σ = F / A, ε = ΔL / L
- E = σ / ε (हुक: σ = E·ε)
- ΔL = F·L / (A·E)
- आयत: I = b·h³ / 12, Z = b·h² / 6
- वृत्त: I = π·d⁴ / 64
- झुकाव प्रतिबल: σ = M / Z
- बीच में भार: δ = P·L³ / (48·E·I); समान भार: δ = 5·w·L⁴ / (384·E·I); कैंटिलीवर सिरा: δ = P·L³ / (3·E·I)
हल किए गए उदाहरण
1. 2 m लंबी, 20 mm व्यास (A = 314 mm²) की इस्पात छड़ पर 62.8 kN का खिंचाव है। E = 200 000 N/mm²। σ, ε और प्रसार निकालो।
σ = 62 800 / 314 = 200 MPa। ε = σ/E = 200 / 200 000 = 0.001। ΔL = ε × L = 0.001 × 2000 = 2 mm।
2. एक आयताकार काट 100 mm चौड़ी और 200 mm गहरी है। I और Z निकालो।
I = bh³/12 = 100 × 200³ / 12 = 66.7 × 10⁶ mm⁴। Z = I / (h/2) = 66.7 × 10⁶ / 100 = 0.667 × 10⁶ mm³।
3. 50 × 150 mm का तख़्ता लिटाकर (h = 50) और किनारे पर (h = 150) लगाया। I की तुलना करो।
किनारे पर: I = 50 × 150³ / 12 = 14.06 × 10⁶ mm⁴। लिटाकर: I = 150 × 50³ / 12 = 1.56 × 10⁶ mm⁴। अनुपात 9, यानी किनारे पर 9 गुना कठोर।
4. 4 m के सरल टिके बीम के बीच में 20 kN भार है; Z = 0.667 × 10⁶ mm³। झुकाव प्रतिबल निकालो।
M = PL/4 = 20 × 4 / 4 = 20 kN·m = 20 × 10⁶ N·mm। σ = M/Z = 20 × 10⁶ / 0.667 × 10⁶ = 30 MPa।
5. वही बीम इस्पात (E = 200 000 N/mm²) की है और I = 66.7 × 10⁶ mm⁴। बीच का विक्षेप निकालो।
δ = PL³ / (48EI) = 20 000 × 4000³ / (48 × 200 000 × 66.7 × 10⁶) = 1.28 × 10¹⁵ / 6.4 × 10¹⁴ = 2.0 mm। पाट/δ = 2000, पाट/250 से बहुत अच्छा।
6. 1.5 m के इस्पात कैंटिलीवर में I = 10 × 10⁶ mm⁴ और सिरे पर 2 kN भार है। सिरे का विक्षेप निकालो (E = 200 000 N/mm²)।
δ = PL³/(3EI) = 2000 × 1500³ / (3 × 200 000 × 10 × 10⁶) = 6.75 × 10¹² / 6 × 10¹² = 1.125 mm।
आम गलतियाँ
- I = bh³/12 में h और b उलट देना। घन वाली भुजा वही है जो झुकाव की दिशा में हो (गहराई)।
- mm और m मिला देना। I mm⁴ में, E N/mm² में और बल N में हो तो विक्षेप mm में आता है।
- अधिक कठोर को अधिक मज़बूत समझ लेना। E कठोरता है; पराभव प्रतिबल मज़बूती है।
- यह भूलना कि उदासीन अक्ष पर झुकाव प्रतिबल शून्य है, इसलिए ठोस बीम का बीच का पदार्थ बेकार जाता है।