स्थैतिक अनिर्धार्य संरचनाओं का परिचय
अगर अज्ञात ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0 से ज़्यादा हों, तो अकेला संतुलन काफ़ी नहीं। अनिर्धार्यता की कोटि = (अज्ञात प्रतिक्रियाएँ + भीतरी अज्ञात) − (समीकरण)। समतल बीम के लिए r − 3; ट्रस के लिए m + r − 2j।
- साधारण बीम: r = 3, कोटि 0।
- प्रोप्ड कैंटिलीवर या दो-पाट बीम: r = 4, कोटि 1।
- दोनों सिरे जड़ा बीम: r = 6, कोटि 3।
हल करने के लिए संगतता की शर्तें जोड़ते हैं: जैसे अतिरिक्त सहारे पर विक्षेप शून्य होना चाहिए। इनमें E, I और लंबाई आती है, इसलिए उत्तर कठोरता EI पर निर्भर करता है, जो निर्धार्य संरचना में नहीं होता।
लाभ: कम आघूर्ण और झुकाव, एक हिस्सा फ़ेल हो तो भार का दूसरा रास्ता (ज़्यादा सुरक्षित), पदार्थ की बचत। हानि: सहारे का धँसना, तापमान बदलाव और बनावट की त्रुटियाँ प्रतिबल पैदा करती हैं, और विश्लेषण कठिन है।
हल करने की विधियाँ
बल (लचीलापन) विधि: रिडंडेंट हटाओ, बची निर्धार्य संरचना हल करो, उससे बनी दूरी (गैप) निकालो, फिर वह रिडंडेंट बल लगाओ जो गैप बंद कर दे (संगतता)। विस्थापन (कठोरता) विधियाँ: स्लोप-डिफ़्लेक्शन और आघूर्ण वितरण जोड़ के घुमाव को अज्ञात लेती हैं; कंप्यूटर मैट्रिक्स कठोरता विधि चलाते हैं।
बल विधि के कदम: (1) रिडंडेंट चुनो, (2) उसे हटाओ, (3) असली भार से विक्षेप निकालो, (4) इकाई रिडंडेंट से विक्षेप निकालो, (5) संगतता लिखो, (6) हल करो, (7) प्रभाव जोड़ो।
स्थैतिक अनिर्धार्य बीम और फ्रेम
समान भार w के लिए मानक परिणाम:
- प्रोप्ड कैंटिलीवर (एक सिरा जड़ा, दूसरे पर रोलर), लंबाई L: प्रोप की प्रतिक्रिया 3wL/8, जड़ पर आघूर्ण wL²/8।
- दोनों सिरे जड़ा बीम: सिरों पर आघूर्ण wL²/12 (ऊपरी रेशे खिंचते हैं), बीच में wL²/24, बीच का झुकाव wL⁴/(384EI), जो साधारण बीम से 5 गुना कम।
- दो बराबर पाट l (सतत): सिरों की प्रतिक्रिया 3wl/8, बीच की 5wl/4, बीच के सहारे पर आघूर्ण wl²/8।
फ्रेम: दोनों पैर जड़े पोर्टल फ्रेम में 6 प्रतिक्रियाएँ, कोटि 3। कठोर कोने आघूर्ण को बीम और खंभों में बाँटते हैं, इसलिए बीम का आघूर्ण पिन-पैर वाले फ्रेम से कम होता है।
जड़ित बीम में सहारे का धँसना Δ सिरों पर 6EIΔ/L² आघूर्ण जोड़ता है; निर्धार्य बीम पर कोई असर नहीं पड़ता।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- अनिर्धार्यता की कोटि (समतल बीम) = r − 3
- ट्रस: कोटि = m + r − 2j
- प्रोप्ड कैंटिलीवर (समान भार w): R_प्रोप = 3wL/8, M_जड़ = wL²/8
- दोनों सिरे जड़े: M_सिरा = wL²/12, M_बीच = wL²/24, δ = wL⁴/(384EI)
- दो बराबर पाट l: R_बीच = 5wl/4, R_सिरा = 3wl/8, बीच के सहारे पर M = wl²/8
- साधारण बीम: M_max = wL²/8, δ = 5wL⁴/(384EI)
- जड़ित बीम में धँसना: ΔM = 6EIΔ/L²
हल किए गए उदाहरण
1. एक सिरे पर जड़ और दो रोलर वाले बीम की अनिर्धार्यता की कोटि निकालो।
प्रतिक्रियाएँ r = 3 + 1 + 1 = 5। कोटि = 5 − 3 = 2।
2. 4 m लंबे प्रोप्ड कैंटिलीवर पर 6 kN/m भार है। प्रोप की प्रतिक्रिया और जड़ का आघूर्ण निकालो।
R_प्रोप = 3wL/8 = 3 × 6 × 4 / 8 = 9 kN। M_जड़ = wL²/8 = 6 × 16 / 8 = 12 kN·m।
3. 5 m का बीम दोनों सिरों पर जड़ा है और 12 kN/m भार है। सिरे और बीच का आघूर्ण निकालो।
M_सिरा = wL²/12 = 12 × 25 / 12 = 25 kN·m। M_बीच = wL²/24 = 12.5 kN·m।
4. सतत बीम के दो बराबर पाट 3 m हैं और भार 8 kN/m है। बीच की प्रतिक्रिया निकालो।
R_बीच = 5wl/4 = 5 × 8 × 3 / 4 = 30 kN। हर सिरे की प्रतिक्रिया = 3wl/8 = 9 kN। जाँच: 9 + 30 + 9 = 48 = 8 × 6।
5. L = 6 m, 10 kN/m पर साधारण बीम और दोनों सिरे जड़े बीम का अधिकतम आघूर्ण तुलना करो।
साधारण: wL²/8 = 10 × 36 / 8 = 45 kN·m। जड़ित: wL²/12 = 30 kN·m। जड़ित बीम का अधिकतम आघूर्ण 1.5 गुना कम है।
6. एक ट्रस में 10 छड़ें, 6 जोड़ और 3 प्रतिक्रियाएँ हैं। अनिर्धार्यता की कोटि निकालो।
m + r − 2j = 10 + 3 − 12 = 1। यह प्रथम कोटि का अनिर्धार्य है।
आम गलतियाँ
- यह मानना कि अनिर्धार्य बीम केवल संतुलन से हल हो जाती है। EI के साथ संगतता चाहिए।
- भूल जाना कि जड़ा सिरा 3 प्रतिक्रियाएँ देता है, इसलिए समतल में r = 6।
- यह सोचना कि अतिरिक्त सहारे हमेशा बेहतर हैं। धँसता सहारा संरचना पर ज़्यादा प्रतिबल डाल सकता है।
- जड़ित बीम के सिरे के आघूर्ण (wL²/12) और बीच के आघूर्ण (wL²/24) को उलट देना; सिरे का आघूर्ण बड़ा होता है।