प्रतिबल (Stress): पदार्थ के भीतर बल
प्रतिबल बताता है कि पदार्थ को कितनी ज़ोर से दबाया या खींचा जा रहा है। यह बल को क्षेत्रफल पर फैलाने से मिलता है: σ = F / A। मात्रक: N/mm² = MPa।
छड़ की लंबाई के साथ खींचने-दबाने से अभिलंब प्रतिबल बनता है। फिसलाने वाले बल से अपरूपण प्रतिबल τ = V / A। झुकने पर बीम का एक तरफ़ का हिस्सा दबता और दूसरा खिंचता है: σ = M / Z।
उतना ही बल पतली छड़ पर ज़्यादा प्रतिबल देता है, इसीलिए पतली छड़ पहले टूटती है।
स्थैतिक निर्धार्य का मतलब
समतल में स्थिर वस्तु के लिए तीन संतुलन समीकरण हैं: ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0। अगर संरचना में अज्ञात प्रतिक्रियाएँ ठीक तीन हों, तो इन्हीं समीकरणों से सब निकल जाती हैं। तब इसे स्थैतिक निर्धार्य कहते हैं।
सहारे: रोलर 1 प्रतिक्रिया, पिन 2, जड़ा हुआ (फ़िक्स्ड) 3।
स्थैतिक निर्धार्य बीम
लंबाई L के सरल रूप से टिके बीम पर, सहारे A से a·L दूरी पर बिंदु भार P:
- R_B = P·a, R_A = P(1 − a) (पहले A के, फिर B के सापेक्ष आघूर्ण लो)।
- भार के नीचे आघूर्ण: M = P·a·(1 − a)·L। दोनों सहारों पर शून्य।
- पूरी लंबाई पर समान भार w: हर सहारे पर wL/2, M_max = wL²/8 बीच में।
- कैंटिलीवर (एक सिरा जड़ा) पर सिरे का भार P: जड़ पर M = P·L, अपरूपण बल हर जगह P।
स्थैतिक निर्धार्य फ्रेम
फ्रेम में बीम और खंभे कोनों पर जुड़े होते हैं। एक पिन और एक रोलर वाले फ्रेम में तीन प्रतिक्रियाएँ होती हैं, इसलिए वह निर्धार्य है। कदम: (1) मुक्त पिंड आरेख बनाओ, (2) ΣFx, ΣFy, ΣM से तीन प्रतिक्रियाएँ निकालो, (3) फ्रेम को कहीं भी काटकर अक्षीय बल N, अपरूपण V और आघूर्ण M निकालो।
पोर्टल फ्रेम पर बग़ल से धक्का लगे तो दोनों खंभे मुड़ते हैं। ऊपरी कोना आघूर्ण को खंभे से बीम में भेजता है, इसलिए कोना मज़बूत होना चाहिए।
स्थैतिक निर्धार्य ट्रस
ट्रस में सीधी छड़ें पिन से जुड़ी होती हैं और भार केवल जोड़ों पर लगता है। इसलिए हर छड़ में सिर्फ़ अक्षीय बल होता है: तनाव (खिंचाव) या संपीडन (दबाव)।
यह निर्धार्य है जब m + r = 2j (m छड़ें, r प्रतिक्रियाएँ, j जोड़)। हल करने के दो तरीके: जोड़ विधि (हर पिन पर बल संतुलित करो) और काट विधि (तीन छड़ें काटकर एक हिस्से को संतुलित करो)।
त्रिकोण ट्रस, ऊपर भार P: प्रतिक्रिया = P/2; तिरछी छड़ = (P/2)/sin θ (दबाव); नीचे की छड़ = (P/2)/tan θ (खिंचाव)।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- σ = F / A (N/mm² = MPa)
- सरल टिका बीम, बिंदु भार: R_A = P·b/L, R_B = P·a/L
- M_max (बिंदु भार) = P·a·b / L; M_max (समान भार) = wL² / 8
- कैंटिलीवर: जड़ पर M = P·L
- ट्रस निर्धार्य यदि m + r = 2j
- त्रिकोण ट्रस: तिरछी छड़ = (P/2)/sin θ, नीचे की छड़ = (P/2)/tan θ
हल किए गए उदाहरण
1. 6 m के सरल टिके बीम पर सहारे A से 2 m पर 12 kN का भार है। R_A, R_B और भार के नीचे आघूर्ण निकालो।
b = 4 m। R_A = P·b/L = 12 × 4 / 6 = 8 kN। R_B = 12 × 2 / 6 = 4 kN। जाँच: 8 + 4 = 12। आघूर्ण = R_A × 2 = 16 kN·m।
2. 8 m के बीम पर 5 kN/m समान भार है। प्रतिक्रियाएँ और अधिकतम आघूर्ण निकालो।
कुल भार = 5 × 8 = 40 kN। हर सहारे पर 20 kN। M_max = wL²/8 = 5 × 64 / 8 = 40 kN·m बीच में।
3. 3 m लंबे कैंटिलीवर के खुले सिरे पर 4 kN का भार है। जड़ पर आघूर्ण और अपरूपण बल निकालो।
अपरूपण = 4 kN। आघूर्ण = P × L = 4 × 3 = 12 kN·m।
4. 20 mm व्यास की छड़ 31.4 kN से खिंच रही है। प्रतिबल निकालो।
A = π × 10² = 314 mm²। σ = 31 400 / 314 = 100 MPa।
5. त्रिकोण ट्रस का आधा फैलाव 3 m और ऊँचाई 4 m है। ऊपरी जोड़ पर 24 kN का भार है। हर छड़ का बल निकालो।
तिरछी छड़ की लंबाई 5 m, sin θ = 4/5, tan θ = 4/3। हर सहारा 12 kN। तिरछी छड़ें: 12 / 0.8 = 15 kN दबाव। नीचे की छड़: 12 / (4/3) = 9 kN खिंचाव।
6. एक ट्रस में 7 छड़ें, 5 जोड़ और 3 प्रतिक्रियाएँ हैं। क्या यह निर्धार्य है?
m + r = 7 + 3 = 10 और 2j = 10। दोनों बराबर हैं, इसलिए निर्धार्य है।
आम गलतियाँ
- आघूर्ण लेते समय कोई बल छोड़ देना। जिस बिंदु से होकर प्रतिक्रिया जाती है, उसका आघूर्ण शून्य होता है; इसीलिए वही बिंदु चुनते हैं।
- σ = F/A में kN और N, या m और mm मिला देना। हर पंक्ति में मात्रक लिखो।
- एक ही सवाल में खिंचाव को कभी धन और कभी ऋण मान लेना। एक ही चिह्न-नियम रखो।
- यह सोचना कि भार खिसकाने पर नियम बदल जाते हैं। नियम वही रहते हैं, बस संख्याएँ बदलती हैं।