आर्कमिडीज़ का उत्प्लावन: संक्षिप्त दोहराव
ठहरा हुआ द्रव उसमें रखी हर वस्तु को ऊपर की ओर धकेलता है। यह उत्प्लावन बल हटाए गए द्रव के भार के बराबर होता है: F = ρ × V × g। यहाँ ρ द्रव का घनत्व है, V सतह के नीचे का आयतन और g = 9.8 m/s²।
अगर उत्प्लावन बल वस्तु के भार से ज़्यादा है, तो वह तैरती है। यह वही दाब का विचार है: गहराई के साथ दाब बढ़ता है। पूरा पाठ आर्कमिडीज़ का सिद्धांत में है।
प्रवाह दर और सांतत्य समीकरण
आयतन प्रवाह दर Q हर सेकंड किसी काट से निकलने वाले द्रव का आयतन है: Q = A × v। A काट का क्षेत्रफल (m²) और v चाल (m/s) है। Q की इकाई m³/s है (1 m³/s = 1000 L/s)।
जिस द्रव को दबाया नहीं जा सकता, उसमें पाइप के अंदर कुछ बनता या गायब नहीं होता, इसलिए Q हर जगह बराबर है:
A₁v₁ = A₂v₂ (सांतत्य समीकरण)।
अगर क्षेत्रफल 4 गुना छोटा हो जाए तो चाल 4 गुना हो जाती है। याद रखो क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग पर निर्भर है: व्यास आधा करने पर चाल 4 गुना हो जाती है।
बरनौली का समीकरण
बरनौली का समीकरण बहते द्रव के लिए ऊर्जा संरक्षण है। चिकने, स्थिर, बिना चिपचिपाहट वाले (आदर्श) द्रव की धारा-रेखा पर:
p + ½ρv² + ρgh = नियतांक
p दाब है (प्रति आयतन दाब ऊर्जा), ½ρv² प्रति आयतन गति ऊर्जा है, और ρgh प्रति आयतन ऊँचाई की ऊर्जा। क्षैतिज पाइप में h नहीं बदलता, इसलिए p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂²: जहाँ v ज़्यादा, वहाँ p कम।
असली द्रवों में थोड़ा घर्षण (श्यानता) होता है, इसलिए पाइप में दाब धीरे-धीरे और गिरता है। पतले द्रव और छोटी पाइप में बरनौली बहुत अच्छा मॉडल है।
वेंचुरी प्रभाव
दोनों बातें जोड़ो। पतले गले वाली पाइप में सांतत्य समीकरण गले में ऊँची चाल देता है, और बरनौली वहाँ कम दाब देता है। यह दाब का गिरना वेंचुरी प्रभाव है।
वेंचुरीमीटर चौड़े भाग और गले के बीच दाब-अंतर Δp नापता है (U-नली या दो मापक नलियों से)। फिर
v₁ = √[ 2Δp / ( ρ ( (A₁/A₂)² − 1 ) ) ], और Q = A₁v₁।
उपयोग: पानी की पाइपों में प्रवाह नापना, कार्बोरेटर जो हवा की धारा में पेट्रोल खींचता है, स्प्रे और पेंट गन, और जेट पंप।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- Q = A × v (m³/s; 1 L = 0.001 m³)
- A₁v₁ = A₂v₂ (सांतत्य)
- p + ½ρv² + ρgh = नियतांक (बरनौली)
- क्षैतिज पाइप: Δp = p₁ − p₂ = ½ρ(v₂² − v₁²)
- वेंचुरी: v₁ = √[2Δp / (ρ((A₁/A₂)² − 1))]
- उत्प्लावन बल F = ρ V g (पानी का ρ = 1000 kg/m³)
हल किए गए उदाहरण
1. पानी 2 m/s से 20 cm² क्षेत्रफल की पाइप में बह रहा है। वह 5 cm² वाले भाग में जाता है। वहाँ चाल निकालो।
A₁v₁ = A₂v₂। 20 × 2 = 5 × v₂, इसलिए v₂ = 40 / 5 = 8 m/s।
2. पाइप की त्रिज्या 2 cm है। पानी 3 m/s से बह रहा है। प्रवाह दर L/s में निकालो।
A = πr² = 3.14 × (0.02)² = 1.257 × 10⁻³ m²। Q = A v = 1.257 × 10⁻³ × 3 = 3.77 × 10⁻³ m³/s = 3.77 L/s।
3. नल से 3 L/s पानी आता है। 60 L का ड्रम भरने में कितना समय लगेगा?
समय = आयतन / Q = 60 / 3 = 20 s।
4. क्षैतिज पाइप में पानी (ρ = 1000 kg/m³) की चाल 2 m/s से 8 m/s हो जाती है। दाब में गिरावट निकालो।
Δp = ½ρ(v₂² − v₁²) = 0.5 × 1000 × (64 − 4) = 30 000 Pa = 30 kPa।
5. वेंचुरीमीटर में A₁ = 20 cm², A₂ = 5 cm² और Δp = 15 000 Pa है। पानी ρ = 1000 kg/m³। v₁ और Q निकालो।
A₁/A₂ = 4, इसलिए (A₁/A₂)² − 1 = 15। v₁ = √[2 × 15 000 / (1000 × 15)] = √2 = 1.41 m/s। Q = A₁ v₁ = 20 × 10⁻⁴ × 1.41 = 2.83 × 10⁻³ m³/s = 2.83 L/s।
6. लकड़ी के गुटके का आयतन 0.002 m³ और भार 15 N है। उसे पूरा पानी में दबाया गया। उत्प्लावन बल निकालो। क्या वह ऊपर उठेगा?
F = ρVg = 1000 × 0.002 × 9.8 = 19.6 N। 19.6 N > 15 N, इसलिए 4.6 N ऊपर की ओर नेट बल है, गुटका उठकर तैरेगा और उसका लगभग 15 / 19.6 = 77% भाग पानी में रहेगा।
आम गलतियाँ
- सोचना कि पाइप में हर जगह चाल बराबर होती है। सिर्फ़ प्रवाह दर Q बराबर होती है; जहाँ क्षेत्रफल कम, वहाँ चाल ज़्यादा।
- त्रिज्या की जगह व्यास लेना, या भूल जाना कि क्षेत्रफल वर्ग पर निर्भर है। व्यास आधा करने पर v चार गुना हो जाती है।
- इकाइयाँ मिला देना: 20 cm² = 20 × 10⁻⁴ m², न कि 20 × 10⁻² m²।
- "तेज़ द्रव का दाब ज़्यादा होता है" कहना। धारा-रेखा पर (क्षैतिज बहाव में) तेज़ यानी कम दाब।