त्रिभुज कैसे बनाते हैं
सबसे ऊपर 1 लिखो। यह पंक्ति 0 है। पंक्ति 1 है 1 1। इसके बाद हर पंक्ति के दोनों सिरों पर 1 लिखो। बीच की हर संख्या, ठीक ऊपर की दो संख्याओं का जोड़ होती है।
पंक्ति 2: 1, 1+1, 1 = 1 2 1। पंक्ति 3: 1, 1+2, 2+1, 1 = 1 3 3 1। पंक्ति 4: 1 4 6 4 1। पंक्ति 5: 1 5 10 10 5 1। पंक्ति 6: 1 6 15 20 15 6 1। पंक्ति 7: 1 7 21 35 35 21 7 1।
किनारे की संख्या 1 इसलिए है कि उसके ऊपर सिर्फ़ एक संख्या होती है, और वह 1 है।
त्रिभुज में छिपे पैटर्न
- शीशा: हर पंक्ति बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ एक जैसी पढ़ी जाती है।
- पंक्ति का जोड़: 1, 2, 4, 8, 16, 32… पंक्ति n का जोड़ 2ⁿ है। हर संख्या नीचे की दो संख्याओं में जाती है, इसलिए जोड़ दुगुना हो जाता है।
- तिरछी रेखाएँ: पहली तिरछी रेखा सब 1 है, अगली 1, 2, 3, 4… (गिनती की संख्याएँ) और उसके बाद 1, 3, 6, 10, 15… (त्रिकोणीय संख्याएँ)।
- 11 की घातें: पहली पंक्तियों से 11⁰ = 1, 11¹ = 11, 11² = 121, 11³ = 1331 और 11⁴ = 14641 मिलते हैं।
पंक्ति n से (a + b)ⁿ के गुणांक
गुणा करके देखो: (a + b)² = a² + 2ab + b²। आगे की संख्याएँ 1 2 1 हैं, यानी पंक्ति 2। फिर (a + b) से गुणा करो: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³। संख्याएँ 1 3 3 1 हैं, पंक्ति 3।
ऐसा क्यों? जब हम एक बार और (a + b) से गुणा करते हैं, तो हर नया पद दो पुराने पदों से बनता है: एक को a से गुणा और दूसरे को b से गुणा। इसलिए नया गुणांक दो पुराने गुणांकों का जोड़ होता है। यही त्रिभुज का जोड़ने वाला नियम है।
(a + b)ⁿ फैलाने के लिए पंक्ति n लो। a की घात n से घटते हुए 0 तक घटती है, b की घात 0 से बढ़ते हुए n तक बढ़ती है, और हर पद में दोनों घातों का जोड़ n होता है। कुल n + 1 पद होते हैं।
(a + b)⁴ के लिए पंक्ति 1 4 6 4 1 है: a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴।
(a − b)ⁿ के लिए वही संख्याएँ लो, पर चिह्न + − + − … बारी-बारी से आते हैं: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³। a या b की जगह कोई संख्या हो तो उसे रखो, जैसे (x + 2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8।
एक त्रिभुज, कई नाम
13वीं सदी के चीनी गणितज्ञ यांग हुई ने अपनी किताब में यह त्रिभुज दिखाया और बताया कि यह उनसे पहले के विद्वान जिया शियान से आया है। इसीलिए चीन में इसे यांग हुई त्रिभुज कहते हैं। भारत में यह मेरु प्रस्तार (मेरु पर्वत की सीढ़ियाँ) के नाम से जाना जाता है, जो पिंगल और बाद में हलायुध के छंदों की लय के अध्ययन से आया। फ़ारस के कवि और गणितज्ञ भी इसे जानते थे। यूरोप में इसे पास्कल त्रिभुज कहते हैं, क्योंकि 17वीं सदी में ब्लेज़ पास्कल ने इस पर लिखा। यही विचार हज़ार साल में कई जगह मिला।
करके देखो: सिक्के और रास्ते
सिक्कों की चाल: 4 सिक्के एक साथ 32 बार उछालो और हर बार चित गिनो। ज़्यादातर बार 2 चित आएँगे, और 0 या 4 चित कम बार। पंक्ति 1 4 6 4 1 बताती है: 16 में से 6 तरीकों में 2 चित हैं और सिर्फ़ 1 में 4 चित।
रास्ते गिनो: सबसे ऊपर के खाने पर एक कंकड़ रखो। कंकड़ नीचे-बाएँ या नीचे-दाएँ जा सकता है। हर खाने की संख्या बताती है कि ऊपर से वहाँ पहुँचने के कितने अलग रास्ते हैं। चित्र बनाकर पंक्ति 4 के 6 को जाँचो।
ऊपर 3D में: n खिसकाओ, और देखने से पहले पंक्ति का अंदाज़ा लगाओ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- अंदर की संख्या = ऊपर की दो संख्याओं का जोड़; किनारे की संख्याएँ = 1
- पंक्ति n में n + 1 संख्याएँ हैं और उनका जोड़ 2ⁿ है
- (a + b)ⁿ: गुणांक पंक्ति n से; a की घात n, n−1, …, 0 और b की घात 0, 1, …, n
- (a − b)ⁿ: वही गुणांक, चिह्न बारी-बारी से + − + −
- पंक्तियाँ: 1 | 1 1 | 1 2 1 | 1 3 3 1 | 1 4 6 4 1 | 1 5 10 10 5 1 | 1 6 15 20 15 6 1
हल किए गए उदाहरण
1. पंक्ति 4 (1 4 6 4 1) से पंक्ति 5 लिखो।
दोनों सिरों पर 1 लिखो। बीच में: 1 + 4 = 5, 4 + 6 = 10, 6 + 4 = 10, 4 + 1 = 5। पंक्ति 5 है 1 5 10 10 5 1।
2. (a + b)⁴ का विस्तार करो।
पंक्ति 4 है 1 4 6 4 1। इसलिए (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴। जाँच: हर पद में घातों का जोड़ 4 है।
3. (x + 1)⁵ का विस्तार करो।
पंक्ति 5 है 1 5 10 10 5 1। 1 की सब घातें 1 हैं, इसलिए (x + 1)⁵ = x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1।
4. (a − b)³ का विस्तार करो।
पंक्ति 3 है 1 3 3 1। चिह्न + − + − आते हैं। इसलिए (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³।
5. (x + 2)³ का विस्तार करो।
पंक्ति 3 है 1 3 3 1, a = x और b = 2। पद: 1·x³ = x³; 3·x²·2 = 6x²; 3·x·4 = 12x; 1·8 = 8। इसलिए (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8।
6. पंक्ति 7 की संख्याओं का जोड़ निकालो और जोड़कर जाँचो। (a + b)⁹ में कितने पद हैं?
पंक्ति 7 का जोड़ 2⁷ = 128 है। जाँच: 1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128। (a + b)⁹ में 9 + 1 = 10 पद हैं।
7. त्रिभुज से 11⁴ निकालो, और (x + 1)⁶ में x³ का गुणांक भी निकालो।
पंक्ति 4 है 1 4 6 4 1, ये सब एक अंक की संख्याएँ हैं, इसलिए 11⁴ = 14641। पंक्ति 6 है 1 6 15 20 15 6 1। पद x⁶, x⁵, x⁴, x³ … के क्रम में हैं, इसलिए x³ चौथा पद है और उसका गुणांक 20 है।
आम गलतियाँ
- सबसे ऊपर की 1 को पंक्ति 1 गिनना। ऊपर की पंक्ति पंक्ति 0 है, इसलिए (a + b)ⁿ के लिए पंक्ति n लो।
- नई पंक्ति में दोनों सिरों पर 1 लिखना भूल जाना, या दो की जगह तीन संख्याएँ जोड़ देना।
- घातें गलत लिखना। हर पद में a और b की घातों का जोड़ n होना चाहिए।
- (a − b)ⁿ में बारी-बारी से चिह्न भूल जाना, या a या b की जगह संख्या रखते समय उसकी सही घात न लेना।