काल श्रेणी क्या है?
काल श्रेणी (time series) वे आँकड़े हैं जो बराबर समय के अंतर पर लिए जाते हैं: हर दिन, महीना, तिमाही (3 महीने) या साल। जैसे: हर महीने की बारिश, शहर का रोज़ का तापमान, कंपनी की तिमाही बिक्री, भारत की सालाना जनसंख्या।
इसे काल श्रेणी ग्राफ़ पर दिखाते हैं: x-अक्ष पर समय, y-अक्ष पर मान, बिंदु सीधी रेखाओं से जुड़े। बीच की रेखाएँ बस क्रम दिखाती हैं; वे असली माप नहीं हैं।
प्रवृत्ति, मौसमी, चक्रीय और यादृच्छिक उतार-चढ़ाव
- प्रवृत्ति (trend): लंबे समय की दिशा (ऊपर, नीचे या सपाट)।
- मौसमी उतार-चढ़ाव (seasonal variation): तय अवधि में, जैसे हर साल, दोहराने वाला पैटर्न (बरसात में छाते ज़्यादा बिकते हैं)।
- चक्रीय उतार-चढ़ाव (cyclic variation): कई सालों की लंबी लहरें, जिनकी लंबाई तय नहीं, जैसे व्यापार में तेज़ी और मंदी।
- यादृच्छिक उतार-चढ़ाव (random): छोटे, अनजाने बदलाव (हड़ताल, त्योहार किसी और महीने में)।
मौसमी उतार-चढ़ाव प्रवृत्ति को छिपा देते हैं। चल माध्य उन्हें हटाते हैं।
चल माध्य कैसे निकालें
तिमाही आँकड़ों के लिए 4-बिंदु चल माध्य लो (4 तिमाही = पूरा 1 साल, तो हर औसत में हर मौसम एक बार आता है)।
- पहले 4 मान जोड़ो, 4 से भाग दो।
- पहला मान छोड़ो, अगला जोड़ो, फिर 4 से भाग दो।
- अंत तक ऐसे ही चलो।
हर औसत को उसके 4 समय-बिंदुओं के बीच में बनाओ (दूसरे और तीसरे के बीच)। महीने के आँकड़ों के लिए 12-बिंदु, स्कूल के हफ़्ते के दिनों के लिए 5-बिंदु चल माध्य।
12 मानों से 12 − 4 + 1 = 9 चल माध्य मिलते हैं।
प्रवृत्ति रेखा और मौसमी अंतर (उच्च स्तर)
चल माध्य बिंदुओं से होकर सबसे ठीक बैठने वाली रेखा खींचो। यही प्रवृत्ति रेखा है। इसकी ढलान बताती है कि हर समय-कदम पर मान कितना बदलता है।
एक बिंदु का मौसमी अंतर = असली मान − प्रवृत्ति मान। हर Q1 (या हर Q4 …) के लिए निकालो और औसत लो: यह उस मौसम का औसत मौसमी अंतर है।
अनुमान = आगे बढ़ाई गई प्रवृत्ति रेखा से पढ़ा मान + औसत मौसमी अंतर। अनुमान बस अंदाज़ा है; जितना आगे का, उतना कम भरोसेमंद।
खुद करो
3D में पीला डिब्बा शुरू से अंत तक खिसकाओ और सभी 9 चल माध्य लिखो। हर दो के बीच कितना अंतर है? घर पर: पिछले 8 महीनों का बिजली बिल (या फ़ोन डेटा) लिखो। 4-बिंदु चल माध्य निकालो। प्रवृत्ति बढ़ रही है या घट रही है?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- 4-बिंदु चल माध्य = (लगातार 4 मानों का योग) ÷ 4
- N मानों से n-बिंदु चल माध्यों की संख्या = N − n + 1
- हर चल माध्य उसके समय-बिंदुओं के बीच में बनाओ
- मौसमी अंतर = असली मान − प्रवृत्ति मान
- औसत मौसमी अंतर = उस मौसम के सभी मौसमी अंतरों का औसत
- अनुमान = प्रवृत्ति मान + औसत मौसमी अंतर
हल किए गए उदाहरण
1. तिमाही बिक्री (₹ हज़ार): 20, 32, 28, 44, 24। पहले दो 4-बिंदु चल माध्य निकालो।
पहला: (20 + 32 + 28 + 44) ÷ 4 = 124 ÷ 4 = 31। दूसरा: 20 हटाओ, 24 जोड़ो: (32 + 28 + 44 + 24) ÷ 4 = 128 ÷ 4 = 32।
2. तिमाही 1 से 4 का पहला चल माध्य कहाँ बनाओगे?
1, 2, 3, 4 के बीच में, यानी 2.5 पर (तिमाही 2 और 3 के ठीक बीच)।
3. 3 साल के तिमाही आँकड़ों से कितने 4-बिंदु चल माध्य मिलेंगे?
3 साल = 12 मान। 12 − 4 + 1 = 9 चल माध्य।
4. एक संग्रहालय में सोम से रवि तक रोज़ के दर्शक 3 हफ़्ते लिखे गए। कितने बिंदु का चल माध्य लोगे और क्यों?
7-बिंदु, क्योंकि पैटर्न हर 7 दिन में दोहराता है; हर औसत में हफ़्ते का हर दिन एक बार आएगा।
5. तिमाही 12 पर प्रवृत्ति 40.5 है और असली मान 52। मौसमी अंतर निकालो।
मौसमी अंतर = असली − प्रवृत्ति = 52 − 40.5 = +11.5। मान प्रवृत्ति से 11.5 ऊपर है।
6. तिमाही 13 पर प्रवृत्ति 41.5 है। Q1 के मौसमी अंतर −9.5, −9.5, −9.5 थे। तिमाही 13 (Q1) का अनुमान लगाओ।
Q1 का औसत मौसमी अंतर = −9.5। अनुमान = 41.5 + (−9.5) = 32।
आम गलतियाँ
- चल माध्य को 4 बिंदुओं के आख़िरी बिंदु पर बनाना; उसे बीच में बनाना है।
- तिमाही आँकड़ों के लिए 3 या 5 बिंदु लेना; 4 लो ताकि हर औसत में पूरा एक साल हो।
- मौसमी अंतर को प्रवृत्ति − असली लिखना; सही है असली − प्रवृत्ति, और चिह्न ज़रूरी है।
- प्रवृत्ति रेखा असली बिंदुओं से खींचना; उसे चल माध्य बिंदुओं से खींचो।