आँकड़े दिखाने के तीन तरीके
- शाब्दिक (वर्णनात्मक): वाक्यों में लिखे आँकड़े। तभी ठीक जब संख्याएँ कम हों।
- सारणीबद्ध: पंक्तियों और स्तंभों में सजे आँकड़े।
- आरेखी: चित्रों में आँकड़े — दंड, वृत्त और ग्राफ़। एक नज़र में समझ आते हैं।
तालिका और उसके भाग
- तालिका संख्या: आसानी से ढूँढने के लिए।
- शीर्षक: छोटा, साफ़; क्या, कहाँ, कब बताए।
- स्तंभ शीर्षक (कैप्शन): स्तंभों के नाम।
- पंक्ति शीर्षक (स्टब): पंक्तियों के नाम।
- मुख्य भाग: मुख्य संख्याएँ।
- माप की इकाई: जैसे ₹ करोड़ या लाख टन।
- स्रोत: आँकड़े कहाँ से आए।
- पाद-टिप्पणी: आँकड़ों की कोई ख़ास बात।
तालिका गुणात्मक, मात्रात्मक, कालिक (समय) या स्थानिक (जगह) आधार पर वर्गीकरण कर सकती है।
दंड आरेख
दंड बराबर चौड़ाई और बराबर दूरी वाले आयत हैं। सिर्फ़ ऊँचाई (लंबाई) मान बताती है।
- सरल दंड आरेख: हर वस्तु या साल का एक दंड।
- बहु-दंड आरेख: हर वस्तु के लिए दो या ज़्यादा दंड साथ-साथ (हर साल गेहूँ और चावल)।
- घटक (उप-विभाजित) दंड आरेख: एक दंड को हिस्सों में बाँटकर कुल की बनावट दिखाना। प्रतिशत दंड में हर दंड 100 के बराबर होता है।
वृत्त आरेख (पाई आरेख)
एक वृत्त को टुकड़ों में काटते हैं। हर टुकड़ा कुल का एक हिस्सा है।
टुकड़े का कोण = (मान ÷ कुल) × 360°। प्रतिशत पहले से हो तो कोण = प्रतिशत × 3.6°।
सबसे बड़ा टुकड़ा पहले, 12 बजे वाली रेखा से शुरू करके घड़ी की दिशा में बनाओ। हर टुकड़े पर नाम लिखो।
आयतचित्र, बारंबारता बहुभुज और बारंबारता वक्र
आयतचित्र
वर्ग-अंतरालों पर बिना जगह छोड़े आयत। बराबर वर्गों में ऊँचाई = बारंबारता। असमान वर्गों में ऊँचाई = बारंबारता ÷ चौड़ाई (बारंबारता घनत्व)। वर्ग अपवर्जी होने चाहिए, इसलिए समावेशी वर्ग पहले सुधारो। आयतचित्र से बहुलक भी निकलता है।
बारंबारता बहुभुज
आयतों के ऊपर के बीच के बिंदु सीधी रेखाओं से जोड़ो। दोनों सिरों पर x-अक्ष पर ख़ाली वर्ग के मध्य-बिंदु से मिलाकर बंद करो। बिना आयतचित्र के (वर्ग-चिह्न, बारंबारता) बिंदु लगाकर भी बनता है।
बारंबारता वक्र
उन्हीं बिंदुओं को सीधी रेखाओं की जगह मुलायम हाथ के वक्र से जोड़ो।
तोरण (संचयी बारंबारता वक्र)
- "से कम" तोरण: "से कम" संचयी बारंबारता को ऊपरी सीमाओं पर लगाओ। यह चढ़ता है।
- "से अधिक" तोरण: "से अधिक" संचयी बारंबारता को निचली सीमाओं पर लगाओ। यह उतरता है।
दोनों तोरण N/2 ऊँचाई पर मिलते हैं। वहाँ से x-अक्ष पर लंब गिराओ: वह मान माध्यिका है।
अंकगणितीय रेखाचित्र (काल श्रेणी ग्राफ़)
समय के साथ बदलते आँकड़ों के लिए। x-अक्ष पर समय (साल, महीने), y-अक्ष पर मान। बिंदु लगाकर सीधी रेखाओं से जोड़ो। चढ़ती रेखा = बढ़त, उतरती रेखा = गिरावट। तुलना के लिए एक ही ग्राफ़ पर दो रेखाएँ भी बना सकते हैं, जैसे निर्यात और आयात।
अगर y-अक्ष 0 से शुरू न हो, तो मूल बिंदु के पास झूठी आधार रेखा (छोटा टेढ़ा-मेढ़ा निशान) दिखाओ।
खुद करके देखो: परिवार बजट का वृत्त
घर में पूछो कि महीने का पैसा मोटे तौर पर कैसे बँटता है: भोजन, किराया, आना-जाना, पढ़ाई, बाकी। हर हिस्से का कोण (भाग ÷ कुल) × 360° से निकालो। चूड़ी से वृत्त और चाँदे से टुकड़े बनाओ। फिर किसी एक सब्ज़ी का दाम 5 हफ़्ते लिखो और 3D के आख़िरी कदम के स्लाइडर में डालकर अपना रेखाचित्र देखो।
बोर्ड परीक्षा का पैटर्न
आते हैं: तालिका के भाग (3 अंक), कोण निकालकर वृत्त आरेख (4 अंक), आयतचित्र और बारंबारता बहुभुज (4–6 अंक), तोरण और माध्यिका (4 अंक)। अक्षों पर नाम, शीर्षक और साफ़ पैमाना ज़रूर दो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- टुकड़े का कोण = (घटक मान ÷ कुल) × 360°
- प्रतिशत से कोण = प्रतिशत × 3.6°
- आयतचित्र (असमान वर्ग): समायोजित ऊँचाई = बारंबारता ÷ वर्ग चौड़ाई
- वर्ग-चिह्न = (निचली + ऊपरी सीमा) ÷ 2 (बहुभुज के बिंदु)
- "से कम" तोरण: (ऊपरी सीमा, से कम संचयी f)
- "से अधिक" तोरण: (निचली सीमा, से अधिक संचयी f); मिलन N/2 पर → माध्यिका
हल किए गए उदाहरण
1. एक परिवार ₹20,000 ख़र्च करता है: भोजन ₹8,000, किराया ₹6,000, यातायात ₹2,000, पढ़ाई ₹4,000। वृत्त आरेख के कोण निकालो।
भोजन = 8,000 ÷ 20,000 × 360 = 144°। किराया = 108°। यातायात = 36°। पढ़ाई = 72°। जाँच: 144 + 108 + 36 + 72 = 360°।
2. बजट का 15% पढ़ाई पर है। वृत्त आरेख में इसका कोण?
15 × 3.6 = 54°।
3. वर्ग 0–10, 10–20, 20–30 की बारंबारता 5, 9, 6 है। बारंबारता बहुभुज के बिंदु लिखो।
वर्ग-चिह्न 5, 15, 25 और f: (5, 5), (15, 9), (25, 6)। बंद करने के लिए अक्ष पर (−5, 0) और (35, 0) जोड़ो।
4. वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, f = 3, 7, 6, 4। "से कम" और "से अधिक" संचयी बारंबारताएँ लिखो।
10 से कम: 3, 20 से कम: 10, 30 से कम: 16, 40 से कम: 20। 0 से अधिक: 20, 10 से अधिक: 17, 20 से अधिक: 10, 30 से अधिक: 4।
5. वर्ग 0–10 (f = 5) और 10–30 (f = 12)। आयतचित्र में आयतों की ऊँचाई कितनी हो?
प्रति इकाई चौड़ाई बारंबारता लो। 0–10: 5 ÷ 10 = 0.5। 10–30: 12 ÷ 20 = 0.6। चौड़ाई 10 के पैमाने पर: 5 और 6।
6. हर स्थिति के लिए कौन-सा आरेख: (क) एक साल में चावल उत्पादन में राज्यों का हिस्सा, (ख) 10 साल का निर्यात, (ग) 100 छात्रों के अंक वर्गों में?
(क) वृत्त आरेख (पूरे के हिस्से)। (ख) अंकगणितीय रेखाचित्र (काल श्रेणी)। (ग) आयतचित्र (बारंबारता वितरण)।
आम गलतियाँ
- आयतचित्र के आयतों के बीच जगह छोड़ना। आयतचित्र के आयत सटे होते हैं; दंड आरेख में जगह होती है।
- असमान चौड़ाई के वर्गों में ऊँचाई का समायोजन भूल जाना।
- "से कम" तोरण को निचली सीमाओं पर लगाना। यह ऊपरी सीमाओं पर लगता है।
- वृत्त आरेख के कोणों का जोड़ 360° न होना। हमेशा जोड़ जाँचो।