कच्चे आँकड़े और उनका संगठन क्यों
कच्चे आँकड़े वैसे ही होते हैं जैसे इकट्ठे हुए, बिना क्रम के। इन्हें पढ़ना मुश्किल है। वर्गीकरण यानी मिलती-जुलती चीज़ों को समूहों (वर्गों) में रखना। इससे आँकड़े छोटे, साफ़ और तुलना योग्य बनते हैं।
वर्गीकरण के प्रकार
- कालानुक्रमिक: समय के आधार पर (1951, 1961, 1971 … में भारत की जनसंख्या)।
- स्थानिक: स्थान के आधार पर (अलग-अलग राज्यों में गेहूँ उत्पादन)।
- गुणात्मक: ऐसे गुण के आधार पर जो मापा न जा सके (साक्षर/निरक्षर, पुरुष/महिला)।
- मात्रात्मक: मापी जा सकने वाली मात्रा के आधार पर (अंक, आय, लंबाई)।
चरों के प्रकार
चर वह मात्रा है जिसका मान एक इकाई से दूसरी में बदलता है, जैसे उम्र या आय।
- विविक्त चर: सिर्फ़ कुछ अलग-अलग मान लेता है, अक्सर पूर्ण संख्याएँ। जैसे परिवार में बच्चों की संख्या (1, 2, 3, कभी 2.5 नहीं)।
- सतत चर: किसी दायरे में कोई भी मान ले सकता है, भिन्न भी। जैसे लंबाई (150 सेमी, 150.4 सेमी, 150.45 सेमी …), वज़न, समय।
बारंबारता वितरण
बारंबारता वितरण एक तालिका है जिसमें वर्ग और हर वर्ग में आने वाले मानों की संख्या दिखती है। बारंबारता (f) = कोई मान या वर्ग कितनी बार आया।
ज़रूरी शब्द
- वर्ग: एक समूह, जैसे 30–40।
- वर्ग सीमाएँ: दोनों सिरे। 30 निचली सीमा, 40 ऊपरी सीमा।
- वर्ग-अंतराल (चौड़ाई) = ऊपरी सीमा − निचली सीमा।
- वर्ग-चिह्न (मध्य-मान) = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) ÷ 2।
- मिलान चिह्न: हर मान के लिए एक डंडी; हर पाँचवीं डंडी पहली चार पर तिरछी।
कैसे बनाएँ
- परिसर निकालो: सबसे बड़ा − सबसे छोटा।
- वर्गों की संख्या (अक्सर 5 से 15) और चौड़ाई तय करो।
- वर्ग लिखो, हर मान के लिए मिलान चिह्न लगाओ।
- चिह्न गिनकर f लिखो। जाँचो कि Σf कुल मानों के बराबर है।
अपवर्जी और समावेशी विधि
- अपवर्जी विधि: वर्ग 0–10, 10–20, 20–30। ऊपरी सीमा शामिल नहीं: 10 का मान 10–20 में जाएगा। सतत आँकड़ों के लिए।
- समावेशी विधि: वर्ग 0–9, 10–19, 20–29। दोनों सीमाएँ शामिल। विविक्त आँकड़ों के लिए।
समावेशी वर्गों का सुधार
अंतर निकालो: अगले वर्ग की निचली सीमा − इस वर्ग की ऊपरी सीमा (10 − 9 = 1)। इसका आधा 0.5। हर निचली सीमा से 0.5 घटाओ, हर ऊपरी में 0.5 जोड़ो: 0–9 बनेगा −0.5–9.5, 10–19 बनेगा 9.5–19.5।
समान और असमान वर्ग, सूचना की हानि
आमतौर पर सभी वर्गों की चौड़ाई बराबर होती है। जब आँकड़े बहुत फैले हों (जैसे आय), तो असमान वर्ग भी लेते हैं। समूह बनाने पर हम वर्ग के सब मानों को वर्ग-चिह्न के बराबर मान लेते हैं। इससे कुछ बारीकी खो जाती है, इसे सूचना की हानि कहते हैं। चौड़े वर्ग में हानि ज़्यादा।
बारंबारता सारणी और द्विचर वितरण
बारंबारता सारणी (ऐरे) विविक्त चर के लिए: हर मान के साथ उसकी बारंबारता (परिवार का आकार 1: 5 परिवार, 2: 15, 3: 25 …)।
द्विचर बारंबारता वितरण एक ही तालिका में दो चर दिखाता है, जैसे 20 कंपनियों की बिक्री पंक्तियों में और विज्ञापन ख़र्च स्तंभों में। हर खाना बताता है कि कितनी कंपनियाँ दोनों वर्गों में आती हैं।
खुद करके देखो: परिवार की उम्रें
15 रिश्तेदारों या पड़ोसियों की उम्र लिखो। वर्ग 0–10, 10–20, 20–30 … बनाओ। हर उम्र के लिए मिलान चिह्न लगाओ, फिर गिनो। किस वर्ग की बारंबारता सबसे ज़्यादा है? अब 20 चौड़ाई के वर्ग बनाओ। कौन-सी तालिका ज़्यादा बताती है? यही 3D के आख़िरी कदम में चौड़ाई बदलकर देखो।
बोर्ड परीक्षा का पैटर्न
ऐसे प्रश्न आते हैं: दिए वर्गों से बारंबारता वितरण बनाओ (4 अंक), समावेशी वर्गों को अपवर्जी में बदलो, वर्ग-चिह्न निकालो, विविक्त और सतत चर में अंतर। हमेशा मिलान चिह्न वाला स्तंभ दिखाओ और Σf जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- परिसर = सबसे बड़ा मान − सबसे छोटा मान
- वर्ग-अंतराल = ऊपरी सीमा − निचली सीमा
- वर्ग-चिह्न = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) ÷ 2
- वर्गों की संख्या ≈ परिसर ÷ चौड़ाई
- समावेशी वर्गों का सुधार = (अगली निचली सीमा − यह ऊपरी सीमा) ÷ 2
- Σf = कुल प्रेक्षणों की संख्या
हल किए गए उदाहरण
1. वर्ग 40–60 का वर्ग-चिह्न और चौड़ाई निकालो।
वर्ग-चिह्न = (40 + 60) ÷ 2 = 50। चौड़ाई = 60 − 40 = 20।
2. "एक दिन में बिकी कारों की संख्या" विविक्त है या सतत? और "एक दिन में लगा पेट्रोल"?
बिकी कारें विविक्त (सिर्फ़ पूरी कारें)। पेट्रोल सतत (12.35 लीटर भी हो सकता है)।
3. 10–19, 20–29, 30–39 को अपवर्जी वर्गों में बदलो।
अंतर = 20 − 19 = 1, सुधार = 0.5। नए वर्ग: 9.5–19.5, 19.5–29.5, 29.5–39.5।
4. वर्ग 0–10, 10–20, 20–30 से तालिका बनाओ: 5, 12, 18, 25, 10, 3, 27, 20, 14, 8।
0–10: 5, 3, 8 → f = 3। 10–20: 12, 18, 10, 14 → f = 4 (10 यहाँ आएगा)। 20–30: 25, 27, 20 → f = 3। Σf = 10।
5. किसी तालिका के वर्ग-चिह्न 15, 25, 35, 45 हैं। वर्ग निकालो।
चौड़ाई = 25 − 15 = 10, आधी = 5। वर्ग: 10–20, 20–30, 30–40, 40–50।
6. अंक 12 से 72 तक हैं। 7 वर्ग चाहिए तो चौड़ाई कितनी रखें और पहला वर्ग कहाँ से शुरू हो?
परिसर = 72 − 12 = 60। चौड़ाई ≈ 60 ÷ 7 ≈ 8.6, आसानी के लिए 10। 10 से शुरू: 10–20, 20–30, … 70–80 (7 वर्ग) सब मान ढक लेते हैं।
आम गलतियाँ
- अपवर्जी विधि में 20 को 10–20 में रखना। यह 20–30 में जाएगा।
- माध्यिका या आयतचित्र से पहले समावेशी वर्गों का सुधार भूल जाना।
- "छात्रों की संख्या" को सतत कहना। 30.5 छात्र नहीं होते; यह विविक्त है।
- Σf को कुल मानों से न मिलाना।