सीमांत उत्पाद क्या है?
सीमांत का मतलब है 'एक और'। सीमांत उत्पाद वह अतिरिक्त उत्पादन है जो एक और मज़दूर (या किसी और आगत की एक और इकाई) जोड़ने से मिलता है।
उदाहरण: 3 मज़दूर 27 बोरे बनाते हैं। 4 मज़दूर 32 बोरे बनाते हैं। चौथे मज़दूर ने 32 − 27 = 5 बोरे जोड़े। यानी चौथे मज़दूर का सीमांत उत्पाद 5 है।
सूत्र: MP = ΔQ ÷ ΔL। त्रिकोण Δ (डेल्टा) का अर्थ है 'परिवर्तन'।
गिनती से अवकलज तक
पूरे मज़दूर जोड़ें तो गिनती से काम चलता है। पर कई आगत चिकने होते हैं: लीटर पानी, ग्राम खाद, मशीन के घंटे। चिकने सूत्र Q = f(L) में हम ΔL को बहुत-बहुत छोटा कर देते हैं। तब ΔQ ÷ ΔL का मान अवकलज (derivative) बन जाता है:
MP = dQ/dL
ग्राफ़ पर यह स्पर्श-रेखा की ढलान है, यानी वह रेखा जो वक्र को एक ही बिंदु पर छूती है।
काम का नियम (घात नियम): L² का अवकलज 2L है, किसी संख्या × L का अवकलज सिर्फ़ वह संख्या है, और सिर्फ़ संख्या का अवकलज 0 है।
Q = 12L − L² के लिए: dQ/dL = 12 − 2L।
घटते प्रतिफल: MP क्यों घटता है
जब आगत बढ़ाने पर MP छोटा होता जाए, तो इसे घटते सीमांत प्रतिफल कहते हैं। खेत की ज़मीन और औज़ार सीमित हैं, इसलिए नए मज़दूरों को उन्हें आपस में बाँटना पड़ता है।
गणित में: MP = 12 − 2L, L बढ़ने पर घटता है। इसका अपना अवकलज −2 है, जो ऋणात्मक है। इसलिए वक्र नीचे की ओर मुड़ता है (अवतल)।
जहाँ MP = 0 होता है, वहाँ वक्र शिखर पर सपाट होता है। यहाँ L = 6 और Q = 36 बोरे हैं। इसके बाद और मज़दूर लगाने पर उत्पादन घटने लगेगा (MP ऋणात्मक)।
वही विचार: सीमांत लागत और सीमांत आगम
अर्थशास्त्र के सारे 'सीमांत' शब्द अवकलज ही हैं।
- सीमांत लागत MC = dC/dq: एक वस्तु और बनाने का अतिरिक्त खर्च।
- सीमांत आगम MR = dR/dq: एक वस्तु और बेचने से अतिरिक्त आमदनी।
उदाहरण: लागत C = 100 + 5q + q² हो, तो MC = 5 + 2q। q = 10 पर MC = 25 रुपये। निश्चित लागत 100 अवकलज में गायब हो जाती है, क्योंकि एक वस्तु और बनाने से वह नहीं बदलती।
खुद करके देखिए: सीमांत उत्पाद निकालिए
- 3D में आख़िरी चरण खोलिए। स्लाइडर 2 मज़दूरों पर रखिए और ढलान लिख लीजिए। अब स्लाइडर हिलाने से पहले अंदाज़ा लगाइए कि 5 मज़दूरों पर ढलान क्या होगी। फिर जाँचिए।
- घर पर 20 पन्ने लीजिए। 2 मिनट अकेले कागज़ की नाव बनाइए, फिर एक दोस्त के साथ, फिर दो दोस्तों के साथ। हर बार नावों की संख्या लिखिए। घटाकर हर दोस्त का सीमांत उत्पाद निकालिए।
- क्या तीसरे व्यक्ति ने उतनी मदद की जितनी पहले दोस्त ने? क्यों या क्यों नहीं?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- MP = ΔQ / ΔL (गिनती, पूरी इकाइयाँ)
- MP = dQ/dL (चिकना सूत्र; स्पर्श-रेखा की ढलान)
- घात नियम: d(Lⁿ)/dL = n·Lⁿ⁻¹; d(aL)/dL = a; d(संख्या)/dL = 0
- घटते प्रतिफल: L बढ़ने पर MP घटता है (d²Q/dL² < 0)
- उत्पादन सबसे ज़्यादा वहाँ है जहाँ MP = 0
- MC = dC/dq, MR = dR/dq
हल किए गए उदाहरण
1. 3 मज़दूर 27 बोरे और 4 मज़दूर 32 बोरे बनाते हैं। चौथे मज़दूर का सीमांत उत्पाद ज्ञात कीजिए।
MP = ΔQ / ΔL = (32 − 27) / (4 − 3) = 5 बोरे।
2. Q = 12L − L²। 4 मज़दूरों से उत्पादन ज्ञात कीजिए।
Q = 12 × 4 − 4² = 48 − 16 = 32 बोरे।
3. Q = 12L − L² के लिए अवकलज से MP निकालिए।
अवकलन करने पर dQ/dL = 12 − 2L। यही किसी भी L पर MP का सूत्र है।
4. Q = 12L − L² के लिए L = 2 पर MP ज्ञात कीजिए।
MP = 12 − 2L = 12 − 2 × 2 = 12 − 4 = 8 बोरे प्रति अतिरिक्त मज़दूर।
5. Q = 30L − 2L² के लिए L = 5 पर MP ज्ञात कीजिए।
dQ/dL = 30 − 4L। L = 5 पर: 30 − 4 × 5 = 30 − 20 = 10।
6. Q = 12L − L² में कितने मज़दूरों पर उत्पादन सबसे अधिक होगा, और वह अधिकतम उत्पादन कितना है?
MP = 0 रखिए: 12 − 2L = 0, तो L = 6। तब Q = 12 × 6 − 6² = 72 − 36 = 36 बोरे।
7. q खिलौने बनाने की लागत C = 100 + 5q + q² है। q = 10 पर सीमांत लागत ज्ञात कीजिए।
MC = dC/dq = 5 + 2q। q = 10 पर: 5 + 20 = 25 रुपये।
8. Q = 20L − L²। दिखाइए कि MP घट रहा है और यह कहाँ शून्य होता है।
MP = 20 − 2L। हर अतिरिक्त मज़दूर पर MP 2 घटता है, इसलिए यह घटता है। MP = 0 तब जब 20 − 2L = 0, यानी L = 10।
आम गलतियाँ
- कुल उत्पाद और सीमांत उत्पाद को मिला देना। Q पूरा उत्पादन है। MP एक और मज़दूर से मिला अतिरिक्त है।
- अवकलन में सिर्फ़ संख्या का गायब हो जाना भूल जाना (लागत सूत्र का 100)।
- यह सोचना कि MP घटने का मतलब उत्पादन घटना है। जब तक MP धनात्मक है, उत्पादन बढ़ता रहता है, बस धीरे।
- अवकलन से पहले ही संख्या रख देना। पहले dQ/dL = 12 − 2L निकालिए, फिर L का मान रखिए।