"सीमांत" का मतलब क्या है?
सीमांत (marginal) का मतलब है "किनारे पर" या "एक और"। सीमांत लागत वह अतिरिक्त पैसा है जो एक और चीज़ बनाने में लगता है।
अगर 4 चीज़ें बनाने में 16 लगते हैं और 5 चीज़ें बनाने में 25, तो 5वीं चीज़ की सीमांत लागत 25 − 16 = 9 है।
सूत्र: सीमांत लागत = लागत में बदलाव ÷ मात्रा में बदलाव = ΔC ÷ Δq।
"एक और" से "थोड़ा सा और" तक
कई बार ठीक एक और चीज़ नहीं बनती। जैसे दूध 0.1 लीटर बढ़ाना। तब हम छोटा कदम h लेते हैं।
प्रति चीज़ अतिरिक्त लागत = (C(q + h) − C(q)) ÷ h।
यह लागत-वक्र पर दो बिंदुओं से गुज़रने वाली रेखा का ढलान है। अब h को छोटा करो: 1, फिर 0.5, फिर 0.1, फिर 0.01। ढलान ज़्यादा नहीं बदलता। जिस संख्या के पास पहुँचता है, वही q पर C का अवकलज (derivative) है, C′(q) या dC/dq।
नियम से अवकलज निकालना
हर बार h छोटा करना ज़रूरी नहीं। आसान नियम हैं:
- C = q² का अवकलज 2q है।
- C = a·q (सीधी रेखा) का अवकलज संख्या a है।
- स्थिर लागत (जैसे किराया, एक सादी संख्या) का अवकलज 0 है। एक और चीज़ बनाने से वह नहीं बदलती।
- C = q³ का अवकलज 3q² है।
पैटर्न: qⁿ के लिए n को आगे लाओ और घात एक घटा दो: n·qⁿ⁻¹।
अर्थव्यवस्था में उपयोग
सीमांत लागत (MC) कुल लागत का अवकलज है। सीमांत आगम (MR) कुल आगम का अवकलज है, यानी एक और बिक्री से मिला पैसा।
जब तक MR, MC से ज़्यादा है, एक और चीज़ बनाना फ़ायदेमंद है। जब MR = MC हो जाए तो रुक जाओ। सबसे अच्छी मात्रा ढूँढने का यही विचार है।
खुद करके देखो
3D में q = 4 और h = 1 रखो। ढलान पढ़ो। अब h को 0.1 तक खिसकाओ। फिर ढलान पढ़ो। दोनों संख्याएँ लिखो और 2q = 8 से मिलाओ। पहले अनुमान लगाओ: q = 6 पर ढलान क्या होगा? जाँचो।
घर पर: 10 पेन का पैकेट ₹50 का है और 11 पेन ₹54 के। 11वाँ पेन कितने का पड़ा?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- सीमांत लागत = ΔC ÷ Δq
- कदम h के साथ ढलान = (C(q + h) − C(q)) ÷ h
- अवकलज: C′(q) = वह मान जिसके पास ढलान h → 0 पर पहुँचता है
- C = q² → C′ = 2q; C = aq → C′ = a; स्थिर लागत → 0
- qⁿ → n·qⁿ⁻¹
हल किए गए उदाहरण
1. 4 चीज़ें बनाने में ₹16 सौ और 5 चीज़ों में ₹25 सौ लगते हैं। 5वीं चीज़ की सीमांत लागत निकालो।
सीमांत लागत = 25 − 16 = 9 (₹9 सौ)।
2. C = q²। q = 6 से q = 7 जाने पर अतिरिक्त लागत निकालो।
C(6) = 36, C(7) = 49। अतिरिक्त = 49 − 36 = 13।
3. C = q²। q = 4 पर कदम h = 0.5 के साथ ढलान निकालो।
C(4.5) = 20.25, C(4) = 16। ढलान = (20.25 − 16) ÷ 0.5 = 8.5।
4. C = q²। नियम से C′(4) निकालो।
C′ = 2q, इसलिए C′(4) = 2 × 4 = 8। कदम वाले ढलान 9, 8.5, 8.1… 8 के पास आते हैं।
5. कुल लागत C = 3q + 20 है। सीमांत लागत क्या है? क्यों?
C′ = 3। ₹20 स्थिर लागत है, उसका अवकलज 0 है। हर एक और चीज़ ₹3 जोड़ती है।
6. आगम R = 10q और लागत C = q² है। MR = MC किस q पर होगा?
MR = 10 और MC = 2q। 10 = 2q से q = 5। इससे ज़्यादा बनाने पर लागत कमाई से ज़्यादा होगी।
आम गलतियाँ
- सीमांत लागत को कुल लागत समझ लेना। यह सिर्फ़ एक और चीज़ का अतिरिक्त खर्च है।
- C(q + 1) को C(q) से भाग देना। यहाँ घटाते हैं, भाग नहीं देते।
- कदम 1 न हो तो h से भाग देना भूल जाना।
- स्थिर लागत को q के साथ बढ़ने वाला मान लेना। उसका अवकलज 0 है।