सदिश और सदिश समष्टि
सदिश (vector) वह राशि है जिसकी दिशा और लंबाई होती है। हम उसे तीर से दिखाते हैं और संख्याओं में लिखते हैं, जैसे (2, 1)। सदिशों के साथ दो काम हमेशा हो सकते हैं: उन्हें जोड़ना (तीर सिरे से पूँछ तक रखना) और गुणा करना (किसी संख्या से खींचना या सिकोड़ना)।
सदिश समष्टि (vector space) सदिशों का ऐसा समूह है जिसमें दो सदिश जोड़ने या एक को गुणा करने पर भी नतीजा उसी समूह में रहता है। मूल बिंदु से निकलने वाले सभी तीरों वाला समतल एक सदिश समष्टि है। सामान्य 3D स्पेस भी है। शून्य सदिश हर सदिश समष्टि में होना ही चाहिए।
जो समतल मूल बिंदु से नहीं गुज़रता वह सदिश समष्टि नहीं है: किसी सदिश को 0 से गुणा करते ही हम उससे बाहर निकल जाते हैं।
रैखिक संचयन और स्पैन
u और w का रैखिक संचयन (linear combination) कोई भी सदिश a·u + b·w है, जहाँ a, b संख्याएँ हैं। 3D में हरा तीर यही है: पहले u के साथ a कदम चलो, फिर w के साथ b कदम।
कुछ सदिशों का स्पैन (span) उनके सारे रैखिक संचयनों का समूह है। एक शून्येतर सदिश एक रेखा का स्पैन है। अलग-अलग दिशा वाले दो सदिश एक समतल का स्पैन हैं। तीन सदिश जो एक ही समतल में नहीं हैं पूरे 3D स्पेस का स्पैन हैं।
रैखिक स्वतंत्रता, आधार और विमा
सदिश रैखिकतः स्वतंत्र (linearly independent) होते हैं अगर उनमें से कोई भी बाकियों से बनाया न जा सके। अगर w = 2u है, तो w से कुछ नया नहीं मिलता, इसलिए वे आश्रित (dependent) हैं। आश्रित सदिश मेहनत बेकार करते हैं: स्पैन बढ़ता नहीं।
आधार (basis) स्वतंत्र सदिशों का वह समूह है जो पूरी समष्टि का स्पैन हो। आधार हो तो हर सदिश के निर्देशांक एक ही तरह से मिलते हैं। समतल का सामान्य आधार i = (1, 0) और j = (0, 1) है, पर और भी कई जोड़ियाँ काम करती हैं।
आधार में सदिशों की संख्या विमा (dimension) है। रेखा की विमा 1, समतल की 2, हमारे कमरे की 3 है। एक ही समष्टि के हर आधार में उतने ही सदिश होते हैं।
मैट्रिक्स एक रैखिक मैप है
रैखिक मैप (linear map) सदिशों को सदिशों में भेजता है और दोनों नियम निभाता है: u + w की छवि = u की छवि + w की छवि, और a·u की छवि = a × (u की छवि)। सीधी रेखाएँ सीधी रहती हैं, मूल बिंदु अपनी जगह रहता है और जाल बराबर दूरी वाला रहता है (वह झुक या खिंच सकता है)।
मैट्रिक्स एक रैखिक मैप को बताता है। उसके स्तंभ (columns) वे जगहें हैं जहाँ i और j उतरते हैं। अगर M के स्तंभ (1, 0.3) और (0.8, 1) हैं, तो i जाता है (1, 0.3) पर और j जाता है (0.8, 1) पर। मैप रैखिक है, इसलिए बिंदु (a, b) जाता है a·(1, 0.3) + b·(0.8, 1) पर। इससे ज़्यादा कुछ याद नहीं रखना।
सारणिक (determinant) बताता है कि इकाई वर्ग का क्षेत्रफल कितना गुना हुआ। अगर वह 0 है तो मैप तल को एक रेखा पर दबा देता है और स्पैन घट जाता है: एक विमा खो जाती है। दो-गुणा-दो का मामला फलन के रूप में मैट्रिक्स पाठ में और देखें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- रैखिक संचयन: a·u + b·w
- span{u, w} = सभी सदिश a·u + b·w
- तल में u, w आश्रित हैं अगर w = k·u
- विमा = आधार में सदिशों की संख्या
- रैखिक मैप: T(u + w) = T(u) + T(w), T(a·u) = a·T(u)
- M(a, b) = a·(स्तंभ 1) + b·(स्तंभ 2)
- 2×2 सारणिक: det [[p, q], [r, s]] = ps − qr (क्षेत्रफल गुणक)
हल किए गए उदाहरण
1. u = (1, 2) और w = (3, 0) हैं। 2u + w निकालो।
2u = (2, 4)। इसमें w जोड़ो: (2 + 3, 4 + 0) = (5, 4)।
2. (7, 2) को a·(1, 0) + b·(0, 1) के रूप में लिखो।
(7, 2) = 7·(1, 0) + 2·(0, 1), इसलिए a = 7 और b = 2।
3. क्या (1, 2) और (3, 6) स्वतंत्र हैं? उनका स्पैन क्या है?
(3, 6) = 3·(1, 2), यानी एक दूसरे का गुणज है। वे आश्रित हैं। उनका स्पैन सिर्फ़ (1, 2) से जाने वाली रेखा है, विमा 1।
4. क्या (2, 1) और (1, 3) समतल का आधार हैं?
सारणिक देखो: 2×3 − 1×1 = 5, जो 0 नहीं है। इसलिए तीर स्वतंत्र हैं। समतल में दो स्वतंत्र सदिश उसका स्पैन होते हैं, इसलिए यह आधार है।
5. मैट्रिक्स M के स्तंभ (2, 0) और (0, 3) हैं। (1, 1) कहाँ जाएगा?
M(1, 1) = 1·(2, 0) + 1·(0, 3) = (2, 3)। मैप x को 2 गुना और y को 3 गुना खींचता है।
6. एक मैप के स्तंभ (1, 2) और (2, 4) हैं। वह पूरे तल का क्या करता है?
सारणिक 1×4 − 2×2 = 0 है। दूसरा स्तंभ पहले का 2 गुना है, इसलिए हर छवि (1, 2) वाली रेखा पर है। तल एक रेखा पर दब गया: आउटपुट की विमा 1 है।
आम गलतियाँ
- यह मान लेना कि कोई भी दो सदिश आधार बनाते हैं। उनकी दिशाएँ अलग (स्वतंत्र) होनी चाहिए।
- भूल जाना कि सदिश समष्टि में शून्य सदिश होना ज़रूरी है। मूल बिंदु से दूर वाला समतल सदिश समष्टि नहीं है।
- i और j कहाँ गए, यह देखने के लिए मैट्रिक्स को पंक्ति से पढ़ना। स्तंभों से पढ़ो।
- यह सोचना कि ज़्यादा सदिश लेने से स्पैन हमेशा बड़ा होता है। आश्रित सदिश कुछ नहीं जोड़ते।