द्विफलक कोण और उसका रैखिक कोण
अंतरिक्ष में एक रेखा m लीजिए। m से शुरू होने वाले दो अर्ध-समतल मिलकर द्विफलक कोण (dihedral angle) बनाते हैं। रेखा m उसका किनारा (कोर) है और अर्ध-समतल उसके फलक हैं। खुली किताब सोचिए: रीढ़ किनारा है, कवर फलक हैं।
इसे संख्या कैसे दें? किनारे पर कोई बिंदु P लीजिए। हर फलक में P से वह किरण खींचिए जो किनारे पर लंब हो। इन दोनों किरणों के बीच का कोण रैखिक कोण कहलाता है। द्विफलक कोण का माप उसके रैखिक कोण के बराबर होता है।
यह क्यों ठीक है? P को किनारे पर खिसकाइए। दोनों किरणें साथ खिसकती हैं पर उनके बीच का कोण वही रहता है। इसलिए संख्या P पर निर्भर नहीं करती।
- द्विफलक कोण 0° और 180° के बीच होता है।
- अगर यह 90° हो तो दोनों समतल परस्पर लंब हैं।
- दो प्रतिच्छेदी समतल चार द्विफलक कोण बनाते हैं। सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
त्रिफलक कोण: फलक कोण और द्विफलक कोण
एक बिंदु O से तीन किरणें OA, OB, OC लीजिए, जो सब एक समतल में न हों। किरणों की जोड़ियों के बीच के तीन सपाट भाग मिलकर त्रिफलक कोण (trihedral angle) बनाते हैं। O शीर्ष है, किरणें किनारे हैं और तीन सपाट भाग फलक हैं।
त्रिफलक कोण में छह कोण होते हैं:
- तीन फलक कोण (समतल कोण) α, β, γ। ये साधारण सपाट कोण हैं, हर फलक में एक। α किनारा 1 के सामने वाले फलक में है, β किनारा 2 के सामने, γ किनारा 3 के सामने।
- तीन द्विफलक कोण A, B, C, हर किनारे पर एक। A किनारा 1 पर, B किनारा 2 पर, C किनारा 3 पर। यानी A, α के सामने है, B, β के सामने और C, γ के सामने।
कौन-से कोने बन सकते हैं? हर फलक कोण बाक़ी दो के जोड़ से छोटा होना चाहिए और α + β + γ, 360° से कम होना चाहिए। 3D के स्लाइडर में कोई भी नियम तोड़कर देखिए: लाल चेतावनी आ जाती है।
घन के कोने में α = β = γ = 90° और A = B = C = 90° होता है। सम चतुष्फलक (regular tetrahedron) के कोने में α = β = γ = 60° है, पर A = B = C ≈ 70.5°।
बहुफलक कोण और 360° का नियम
तीन से ज़्यादा किरणें लें तो बहुफलक कोण (polyhedral angle) बनता है, जैसे वर्ग आधार वाले पिरामिड की नोक पर चार फलक। बहुफलक कोण उत्तल होता है अगर वह अपने हर फलक-तल के एक ही ओर रहे।
नियम: उत्तल बहुफलक कोण के फलक कोणों का जोड़ 360° से कम होता है।
क्यों? कोने को दबाकर समतल पर बिछाइए। जोड़ ठीक 360° हो तो फलक शीर्ष के चारों ओर पूरे बैठ जाते हैं और कोना बचता ही नहीं, बस सपाट चादर रह जाती है। असली कोने में बंद करने के लिए एक ख़ाली जगह रहती है, इसलिए जोड़ छोटा होता है।
- घन का कोना: 3 × 90° = 270°।
- सम चतुष्फलक का कोना: 3 × 60° = 180°।
- सम द्वादशफलक का कोना: 3 × 108° = 324°।
- एक बिंदु पर चार समबाहु त्रिभुज (वर्ग पिरामिड): 240°।
इसी कारण केवल पाँच सम बहुफलक होते हैं: एक शीर्ष पर कम से कम तीन फलक चाहिए और कोणों का जोड़ 360° से कम रहना चाहिए।
त्रिफलक कोण के लिए कोज्या और ज्या प्रमेय
फलक कोणों के लिए कोज्या प्रमेय: cos α = cos β · cos γ + sin β · sin γ · cos A।
द्विफलक कोणों के लिए कोज्या प्रमेय: cos A = −cos B · cos C + sin B · sin C · cos α।
ज्या प्रमेय: sin α / sin A = sin β / sin B = sin γ / sin C।
अक्षर बदलने से यही रूप दोहराता है: (α, A), (β, B), (γ, C) साथ-साथ चलते हैं।
पहला नियम कहाँ से आता है? तीनों किनारों के अनुदिश इकाई सदिश e₁, e₂, e₃ लीजिए। e₂ और e₃ के बीच का कोण α है, इसलिए e₂ · e₃ = cos α। e₂ = (cos γ) e₁ + p और e₃ = (cos β) e₁ + q लिखिए, जहाँ p और q, e₁ पर लंब हैं। उनकी लंबाइयाँ sin γ और sin β हैं और p, q के बीच का कोण किनारे e₁ का द्विफलक कोण A है। तब cos α = cos γ cos β + p · q = cos β cos γ + sin β sin γ cos A।
काम का रूप: तीनों फलक कोण पता हों तो cos A = (cos α − cos β cos γ) / (sin β sin γ)। तीनों द्विफलक कोण पता हों तो cos α = (cos A + cos B cos C) / (sin B sin C)। असली कोने के द्विफलक कोण हमेशा A + B + C > 180° होते हैं।
करके देखिए: कोना बनाइए और मापिए
काग़ज़ से। एक काग़ज़ को बीच से मोड़िए। उसे मेज़ पर खड़ा करके खोलिए। हर आधे पर मोड़ से 90° पर एक रेखा खींचिए। चाँदे से इन दोनों रेखाओं का कोण मापिए: यही द्विफलक कोण है। और खोलकर फिर मापिए।
3D में। पहले अनुमान लगाइए: α = β = γ = 90° रखें तो A, B, C कितने होंगे? फिर जाँचिए। अब α = β = 90° रखकर γ को धीरे-धीरे बदलिए। कौन-सा द्विफलक कोण γ के साथ चलता है?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- द्विफलक कोण = उसका रैखिक कोण (किनारे पर लंब किरणें, हर फलक में एक)
- त्रिफलक कोण: फलक कोण α, β, γ; द्विफलक कोण A, B, C (A, α के सामने, ...)
- cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos A
- cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos α
- sin α / sin A = sin β / sin B = sin γ / sin C
- अस्तित्व: हर फलक कोण < बाक़ी दो का जोड़; α + β + γ < 360°; A + B + C > 180°
- उत्तल बहुफलक कोण: फलक कोणों का जोड़ < 360°
हल किए गए उदाहरण
1. डिब्बे के कोने में तीनों फलक कोण 90° हैं। एक किनारे पर द्विफलक कोण ज्ञात कीजिए।
cos A = (cos 90° − cos 90° cos 90°) / (sin 90° sin 90°) = (0 − 0) / 1 = 0। इसलिए A = 90°। तीनों द्विफलक कोण समकोण हैं, इसी कारण डिब्बे के फलक परस्पर लंब होते हैं।
2. सम चतुष्फलक के एक शीर्ष पर तीन समबाहु त्रिभुज मिलते हैं। दो फलकों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
α = β = γ = 60°। cos A = (cos 60° − cos² 60°) / sin² 60° = (0.5 − 0.25) / 0.75 = 1/3। इसलिए A = arccos(1/3) ≈ 70.53°।
3. क्या 100°, 130° और 140° के तीन सपाट कोण मिलकर त्रिफलक कोण बना सकते हैं?
इनका जोड़ 370° है, जो 360° से ज़्यादा है। इसलिए कोई कोना नहीं बन सकता।
4. क्या 40°, 50° और 100° फलक कोणों वाला त्रिफलक कोण बन सकता है?
जोड़ 190° है, जो 360° से कम है, पर 100°, 40° + 50° = 90° से बड़ा है। एक फलक कोण बहुत बड़ा है, इसलिए कोना नहीं बन सकता।
5. द्वादशफलक के एक शीर्ष पर तीन सम पंचभुज (हर कोण 108°) मिलते हैं। दो पंचभुज फलकों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
cos 108° ≈ −0.3090, cos² 108° ≈ 0.0955, sin² 108° ≈ 0.9045। cos A = (−0.3090 − 0.0955) / 0.9045 ≈ −0.4472। इसलिए A ≈ 116.57°।
6. एक त्रिफलक कोने के तीनों द्विफलक कोण 80° हैं। हर फलक कोण ज्ञात कीजिए।
cos α = (cos A + cos B cos C) / (sin B sin C) = (0.1736 + 0.0302) / 0.9698 ≈ 0.2101। इसलिए α ≈ 77.9°। (जाँच: 80° × 3 = 240° > 180°, जैसा चाहिए।)
आम गलतियाँ
- द्विफलक कोण को किन्हीं भी दो रेखाओं से माप लेना। दोनों किरणें किनारे पर लंब होनी चाहिए।
- फलक कोण (सपाट, एक फलक में) और द्विफलक कोण (दो फलकों के बीच) को आपस में मिला देना।
- सूत्र में ग़लत जोड़ी लेना। cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos A में कोण A वही है जो α के सामने है।
- α + β + γ = 360° या उससे ज़्यादा मान लेना। 360° पर कोना पूरा सपाट हो जाता है, यानी कोना रहता ही नहीं।