什么是交流电？
直流电（DC）只朝一个方向流动，比如电池给出的电。交流电（AC）则不断改变方向。在印度，它每秒改变方向 100 次（50 个完整周期，所以 f = 50 Hz）。
我们写作 V = V₀ sin ωt 和 I = I₀ sin ωt。V₀ 和 I₀ 是峰值（最大值）。ω = 2πf 是角频率。一个完整周期的时间是 T = 1/f。
峰值、平均值和有效值
在一个完整周期内，交流电一半时间为正，一半时间为负，所以它的平均值为零。这个结果没有什么用处。
因此我们使用有效值（rms，方均根）：先把各个值平方，再取平均，最后开平方根。对正弦波：Irms = I₀/√2 ≈ 0.707 I₀，Vrms = V₀/√2。
含义：有效值就是让电阻产生相同热量的恒定直流电。电表和灯泡显示的都是有效值。半个周期内的平均值是 2I₀/π ≈ 0.637 I₀。
相量：用旋转的箭头表示波
相量是一支长度为 V₀ 的箭头，以角速度 ω 逆时针旋转。它在竖直轴上的投影在任意时刻都是 V₀ sin ωt。所以旋转的箭头就画出了这条波。
我们把电压相量和电流相量画在一起。它们之间的夹角就是相位差 φ。
交流电通过 R、L、C：电抗
只有电阻
V 和 I 同相（φ = 0）。V₀ = I₀ R。
只有电感
电感会阻碍电流的每一次变化，所以电流滞后电压 90°。它的阻碍作用叫感抗，Xʟ = ωL（单位欧姆）。频率越高，Xʟ 越大。对直流（ω = 0），Xʟ = 0。
只有电容
电容必须先充电，电压才会升起来，所以电流超前电压 90°。容抗 Xᴄ = 1/(ωC)。频率越高，Xᴄ 越小。电容会阻断直流（Xᴄ → ∞）。
串联 LCR 电路和阻抗
在串联电路中，R、L、C 中流过同一个电流。先画电流相量。Vʀ 与它同向，Vʟ 超前 90°，Vᴄ 落后 90°。Vʟ 和 Vᴄ 方向相反，所以会部分抵消。
V² = Vʀ² + (Vʟ − Vᴄ)²，由此得到阻抗 Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²)。然后 I = V/Z。
相位角：tan φ = (Xʟ − Xᴄ)/R。如果 Xʟ > Xᴄ，电路呈感性（电流滞后）；如果 Xᴄ > Xʟ，电路呈容性（电流超前）。
串联 LCR 电路中的谐振
频率变化时，Xʟ 增大而 Xᴄ 减小。在某一个频率它们相等：ω₀L = 1/(ω₀C)，所以 ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = 1/(2π√LC)。
谐振时 Z = R（最小），电流最大，V 和 I 同相。Vʟ 和 Vᴄ 各自可能比电源电压大得多，但它们互相抵消。
尖锐程度：R 小，峰就又高又窄。品质因数 Q = ω₀L/R = 1/(ω₀CR) 用来衡量这一点。收音机需要尖锐的峰才能只选出一个电台。谐振需要 L 和 C 同时存在；只有 RL 或 RC 的电路没有谐振。
功率和功率因数
交流电路的平均功率：P = Vrms Irms cos φ。其中 cos φ = R/Z 叫做功率因数。
- 纯 R：φ = 0，cos φ = 1，功率最大。
- 纯 L 或纯 C：φ = 90°，cos φ = 0，没有平均功率。
- 谐振时的 LCR：cos φ = 1。
只有电阻会消耗能量。理想的 L 或 C 在四分之一周期里吸收能量，在下一个四分之一周期里又把能量还回去。
功率因数低，意味着同样的有用功率需要更大的电流，而电流会在供电导线中以 I²R 的形式变成热量浪费掉。加上合适的电容可以提高功率因数。
无功电流
把电流相量分成两部分：沿电压方向的 I cos φ，和与电压成 90° 的 I sin φ。
Irms sin φ 这一部分不做平均功，因为它与电压相差 90°。它叫做无功电流。在纯电感或纯电容中，全部电流都是无功电流。风扇调速器里的扼流圈就用了这个道理：它减小电流，却几乎不损失能量。
动手试试：一个小实验
动手试试：在 3D 中选择“LCR series”，从 30 Hz 开始。拖动滑块之前先预测：频率升到 50 Hz 时，电流会变大还是变小？然后慢慢滑动，观察 Irms。记下紫色“Resonance”标签出现时的频率，并用 f₀ = 1/(2π√LC) = 1/(2π√(0.2 × 50×10⁻⁶)) ≈ 50 Hz 来检验。再选“L only”，看读数中 P = 0 W。
重点公式和概念
- V = V₀ sin ωt, I = I₀ sin(ωt − φ), ω = 2πf
- I_rms = I₀/√2 ≈ 0.707 I₀; V_rms = V₀/√2
- 感抗：Xʟ = ωL = 2πfL
- 容抗：Xᴄ = 1/(ωC) = 1/(2πfC)
- 阻抗：Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²)
- 相位：tan φ = (Xʟ − Xᴄ)/R
- 谐振：ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√LC), Z = R
- 品质因数：Q = ω₀L/R
- 平均功率：P = V_rms I_rms cos φ；功率因数 cos φ = R/Z
- 无功电流 = I_rms sin φ
例题讲解
1. 市电电压的有效值是 230 V。求它的峰值。
V₀ = √2 × V_rms = 1.414 × 230 ≈ 325 V。
2. 一个 100 Ω 的电阻接在 220 V、50 Hz 的交流电上。求 I_rms、I₀ 和功率。
I_rms = 220/100 = 2.2 A。I₀ = √2 × 2.2 ≈ 3.11 A。P = V_rms I_rms = 220 × 2.2 = 484 W（φ = 0）。
3. 求 0.5 H 电感在 50 Hz 时的感抗，以及接在 220 V 上的有效电流。
Xʟ = 2πfL = 2 × 3.14 × 50 × 0.5 ≈ 157 Ω。I_rms = 220/157 ≈ 1.4 A。功率 = 0（电流滞后 90°）。
4. 求 20 µF 电容在 50 Hz 时的容抗。
Xᴄ = 1/(2πfC) = 1/(2 × 3.14 × 50 × 20 × 10⁻⁶) = 1/0.00628 ≈ 159 Ω。
5. 在串联 LCR 电路中 R = 30 Ω，Xʟ = 80 Ω，Xᴄ = 40 Ω，V_rms = 200 V。求 Z、I、φ 和功率因数。
Z = √(30² + (80 − 40)²) = √(900 + 1600) = 50 Ω。I = 200/50 = 4 A。tan φ = 40/30，φ ≈ 53°（电流滞后）。cos φ = 30/50 = 0.6。
6. 对上面的电路，求平均功率和无功电流。
P = V I cos φ = 200 × 4 × 0.6 = 480 W（检验：I²R = 16 × 30 = 480 W）。sin φ = 0.8，无功电流 = 4 × 0.8 = 3.2 A。
7. L = 0.1 H 和 C = 10 µF 与 R = 10 Ω 串联。求谐振频率，以及接在 100 V 上时谐振时的电流。
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(10⁻⁶) = 1000 rad/s。f₀ = 1000/(2π) ≈ 159 Hz。谐振时 Z = R = 10 Ω，所以 I = 100/10 = 10 A。
8. 对上面的谐振电路，求 Q 以及谐振时电感两端的电压。
Q = ω₀L/R = 1000 × 0.1/10 = 10。Xʟ = 100 Ω，Vʟ = I Xʟ = 10 × 100 = 1000 V，是电源电压的十倍！Vᴄ 也是 1000 V，两者互相抵消。
常见错误
- 把 LCR 电路中的电压当作普通数字相加（Vʀ + Vʟ + Vᴄ）。它们的相位不同，要按相量相加。
- 在 P = VI cos φ 中使用峰值。要用有效值（或者写成 P = ½ V₀ I₀ cos φ）。
- 以为电感对直流有很大的感抗。对直流 ω = 0，所以 Xʟ = 0；阻断直流的是电容。
- 说谐振时电流为零。谐振时 Z 最小，所以电流最大。