Che cos'è la corrente alternata?
La corrente continua (CC) scorre in un solo verso, come quella di una pila. La corrente alternata (CA) cambia continuamente verso. In Europa cambia verso 100 volte al secondo (50 cicli completi, quindi f = 50 Hz).
Scriviamo V = V₀ sin ωt e I = I₀ sin ωt. V₀ e I₀ sono i valori massimi (i più alti). ω = 2πf è la pulsazione. Un ciclo completo dura un tempo T = 1/f.
Valore massimo, medio ed efficace
In un ciclo completo la CA è positiva per metà del tempo e negativa per l'altra metà, quindi la sua media è zero. Questo dato non ci dice nulla di utile.
Usiamo allora il valore efficace (rms, root mean square): si elevano al quadrato i valori, si fa la media e poi la radice quadrata. Per un'onda sinusoidale: Irms = I₀/√2 ≈ 0,707 I₀ e Vrms = V₀/√2.
Significato: il valore efficace è la corrente continua costante che scalderebbe un resistore con la stessa rapidità. Strumenti e lampadine mostrano valori efficaci. La media su mezzo ciclo è 2I₀/π ≈ 0,637 I₀.
Fasori: una freccia che gira al posto di un'onda
Un fasore è una freccia di lunghezza V₀ che ruota in senso antiorario con velocità angolare ω. La sua proiezione sull'asse verticale in ogni istante è V₀ sin ωt. Così la freccia che gira disegna l'onda.
Disegniamo insieme il fasore della tensione e quello della corrente. L'angolo tra i due è lo sfasamento φ.
CA in R, L e C: la reattanza
Solo resistore
V e I sono in fase (φ = 0). V₀ = I₀ R.
Solo induttore
L'induttore si oppone a ogni variazione di corrente, quindi la corrente è in ritardo di 90° rispetto alla tensione. La sua opposizione è la reattanza induttiva Xʟ = ωL (in ohm). Frequenza più alta → Xʟ più grande. In corrente continua (ω = 0), Xʟ = 0.
Solo condensatore
Il condensatore deve prima caricarsi perché la sua tensione aumenti, quindi la corrente è in anticipo di 90° rispetto alla tensione. La reattanza capacitiva è Xᴄ = 1/(ωC). Frequenza più alta → Xᴄ più piccola. Un condensatore blocca la CC (Xᴄ → ∞).
Circuito RLC in serie e impedenza
In serie scorre la stessa corrente in R, L e C. Disegna prima il fasore della corrente. Vʀ è lungo la corrente, Vʟ è 90° avanti, Vᴄ è 90° indietro. Vʟ e Vᴄ puntano in versi opposti, quindi in parte si annullano.
V² = Vʀ² + (Vʟ − Vᴄ)², da cui l'impedenza Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²). Poi I = V/Z.
Angolo di fase: tan φ = (Xʟ − Xᴄ)/R. Se Xʟ > Xᴄ il circuito si comporta da induttivo (la corrente è in ritardo); se Xᴄ > Xʟ si comporta da capacitivo (la corrente è in anticipo).
Risonanza in un circuito RLC in serie
Al variare della frequenza, Xʟ aumenta e Xᴄ diminuisce. A una certa frequenza sono uguali: ω₀L = 1/(ω₀C), quindi ω₀ = 1/√(LC) e f₀ = 1/(2π√LC).
In risonanza Z = R (il valore minimo), la corrente è massima e V e I sono in fase. Vʟ e Vᴄ possono essere ciascuna molto più grandi della tensione di alimentazione, ma si annullano.
Selettività: una R piccola dà un picco alto e stretto. Il fattore di qualità Q = ω₀L/R = 1/(ω₀CR) misura questa caratteristica. Le radio hanno bisogno di un picco stretto per scegliere una sola stazione. La risonanza richiede sia L sia C; un circuito RL o RC non ha risonanza.
Potenza e fattore di potenza
Potenza media in un circuito in CA: P = Vrms Irms cos φ. Il termine cos φ = R/Z è il fattore di potenza.
- Solo R: φ = 0, cos φ = 1, potenza piena.
- Solo L o solo C: φ = 90°, cos φ = 0, nessuna potenza media.
- RLC in risonanza: cos φ = 1.
Solo il resistore consuma energia. Un L o un C ideale assorbe energia per un quarto di ciclo e la restituisce nel quarto successivo.
Un fattore di potenza basso significa una corrente grande a parità di potenza utile, e questo spreca energia sotto forma di calore (I²R) nei cavi di alimentazione. Aggiungere un condensatore adatto aumenta il fattore di potenza.
Corrente swattata
Dividi il fasore della corrente in due parti: I cos φ lungo la tensione e I sin φ a 90° rispetto ad essa.
La parte Irms sin φ non compie lavoro medio, perché è sfasata di 90° rispetto alla tensione. Si chiama corrente swattata (o corrente reattiva). In un induttore o condensatore puro tutta la corrente è swattata. La bobina di reattanza (choke) nel regolatore di un ventilatore sfrutta questa idea: riduce la corrente con una perdita di energia quasi nulla.
Prova tu: un esperimento pratico
Prova: nel 3D scegli "RLC serie" e parti da 30 Hz. Prima di muovere il cursore, prevedi: la corrente salirà o scenderà passando a 50 Hz? Ora muovi il cursore lentamente e osserva Irms. Annota la frequenza in cui compare l'etichetta viola "Risonanza" e confrontala con f₀ = 1/(2π√LC) = 1/(2π√(0.2 × 50×10⁻⁶)) ≈ 50 Hz. Poi scegli "solo L" e guarda P = 0 W nel riquadro dei valori.
Formule e definizioni chiave
- V = V₀ sin ωt, I = I₀ sin(ωt − φ), ω = 2πf
- I_rms = I₀/√2 ≈ 0.707 I₀; V_rms = V₀/√2
- Reattanza induttiva: Xʟ = ωL = 2πfL
- Reattanza capacitiva: Xᴄ = 1/(ωC) = 1/(2πfC)
- Impedenza: Z = √(R² + (Xʟ − Xᴄ)²)
- Fase: tan φ = (Xʟ − Xᴄ)/R
- Risonanza: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√LC), Z = R
- Fattore di qualità: Q = ω₀L/R
- Potenza media: P = V_rms I_rms cos φ; fattore di potenza cos φ = R/Z
- Corrente swattata = I_rms sin φ
Esempi svolti
1. La tensione di rete è 230 V efficaci. Trova il suo valore massimo.
V₀ = √2 × V_rms = 1.414 × 230 ≈ 325 V.
2. Un resistore da 100 Ω è collegato a una CA di 220 V, 50 Hz. Trova I_rms, I₀ e la potenza.
I_rms = 220/100 = 2.2 A. I₀ = √2 × 2.2 ≈ 3.11 A. P = V_rms I_rms = 220 × 2.2 = 484 W (φ = 0).
3. Trova la reattanza di un induttore da 0.5 H a 50 Hz e la corrente efficace con 220 V.
Xʟ = 2πfL = 2 × 3.14 × 50 × 0.5 ≈ 157 Ω. I_rms = 220/157 ≈ 1.4 A. Potenza = 0 (la corrente è in ritardo di 90°).
4. Trova la reattanza di un condensatore da 20 µF a 50 Hz.
Xᴄ = 1/(2πfC) = 1/(2 × 3.14 × 50 × 20 × 10⁻⁶) = 1/0.00628 ≈ 159 Ω.
5. In un circuito RLC in serie R = 30 Ω, Xʟ = 80 Ω, Xᴄ = 40 Ω, V_rms = 200 V. Trova Z, I, φ e il fattore di potenza.
Z = √(30² + (80 − 40)²) = √(900 + 1600) = 50 Ω. I = 200/50 = 4 A. tan φ = 40/30, φ ≈ 53° (la corrente è in ritardo). cos φ = 30/50 = 0.6.
6. Per il circuito precedente, trova la potenza media e la corrente swattata.
P = V I cos φ = 200 × 4 × 0.6 = 480 W (verifica: I²R = 16 × 30 = 480 W). sin φ = 0.8, corrente swattata = 4 × 0.8 = 3.2 A.
7. L = 0.1 H e C = 10 µF sono in serie con R = 10 Ω. Trova la frequenza di risonanza e la corrente in risonanza con 100 V.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(10⁻⁶) = 1000 rad/s. f₀ = 1000/(2π) ≈ 159 Hz. In risonanza Z = R = 10 Ω, quindi I = 100/10 = 10 A.
8. Per il circuito in risonanza precedente, trova Q e la tensione ai capi dell'induttore in risonanza.
Q = ω₀L/R = 1000 × 0.1/10 = 10. Xʟ = 100 Ω, Vʟ = I Xʟ = 10 × 100 = 1000 V, dieci volte la tensione di alimentazione! Anche Vᴄ è 1000 V e le due si annullano.
Errori comuni
- Sommare le tensioni di un circuito RLC come semplici numeri (Vʀ + Vʟ + Vᴄ). Sono sfasate: vanno sommate come fasori.
- Usare i valori massimi in P = VI cos φ. Usa i valori efficaci (oppure scrivi P = ½ V₀ I₀ cos φ).
- Pensare che un induttore abbia una reattanza grande in corrente continua. In CC ω = 0, quindi Xʟ = 0; è il condensatore che blocca la CC.
- Dire che in risonanza la corrente è zero. In risonanza Z è minima, quindi la corrente è massima.