什么是3D模型？
3D模型用三个方向来描述一个形状：宽度(x)、高度(y)和深度(z)。电脑把它存成一组数字。
- 顶点：有x、y、z坐标的一个点。
- 边：连接两个顶点的一条直线。
- 面（多边形）：由边围起来的一块平面，通常是三角形或四边形。
- 网格：所有顶点、边和面合在一起。
立方体有8个顶点、12条边和6个面。对任何封闭的简单实心体，都有 V − E + F = 2（欧拉公式）。验证：8 − 12 + 6 = 2。
3D建模的几种方式
- 多边形（网格）建模：用于游戏、电影、VR。
- CAD实体建模：尺寸精确到毫米，用于工程和产品设计。
- 雕刻：像捏黏土一样推拉表面，常用于做角色。
- 3D扫描：把真实物体复制成网格。
搭建模型：基础几何体、变换和挤出
大多数模型都从基础几何体开始：立方体、球体、圆柱、圆锥、平面。
变换
- 移动（平移）：沿x、y或z方向改变位置。
- 旋转：绕某个轴转动一个角度。
- 缩放：变大或变小（×2会让每条长度都变成2倍）。
盒子建模
先从一个盒子开始，然后：
- 挤出一个面：把它拉出来，做成新的部分（手臂、把手）。
- 内插面/环切：在需要细节的地方多加几条边。
- 细分/平滑：把面分成更小的面，形状看起来就更圆润。
在CAD里，常常先画一个尺寸精确的2D草图，再把它挤出或旋转成实体。其他常用工具：布尔运算（把两个形状合并、相减或取相交部分）、倒圆角（把棱变圆）和镜像（复制到另一侧）。
样机和原型
设计师先用纸板或泡沫做简单样机来检验想法，再做3D模型，最后打印出原型，测试大小和是否合适。
材质、灯光、相机和渲染
只有网格的话，就是一个灰色的形状。要得到一张图片，我们还要加上：
- 材质：颜色、光泽、粗糙程度、是否透明。
- 纹理（贴图）：贴在表面上的一张图片（木纹、皮肤）。贴图用的平面展开图叫UV图。
- 灯光：太阳光、点光源、聚光灯会产生明暗和阴影。
- 相机：决定从哪个角度看，和真实相机一样。
渲染就是电脑根据这些信息算出每一个像素的颜色。游戏是实时渲染（每秒约60张图）。电影用更慢但更逼真的渲染，一帧可能要算几分钟。模型还可以做成动画，或在VR和AR中展示。
3D打印（增材制造）
增材的意思是一层一层地加材料来制造。（像车床那样把材料切掉，叫减材。）
- 设计模型并导出（常用STL或3MF文件）。
- 切片软件把它切成很薄的水平层，并规划喷头的路线。
- 打印机从下往上打印。在FDM打印中，加热的喷头把塑料丝（比如PLA）熔化，画出每一层。
层高通常是0.1–0.3 mm。层越薄，表面越光滑，但花的时间越长。层数 = 高度 ÷ 层高。一个24 mm高的模型，层高0.2 mm，需要 24 ÷ 0.2 = 120 层。
悬空的部分需要支撑。填充（比如20%）是用轻便的图案填满内部，可以省塑料。用途：原型、备用零件、医学模型、假肢手，甚至用混凝土打印房子。
重点公式和概念
- 顶点 = 点 (x, y, z)；边 = 两个顶点之间的线；面 = 平面
- V − E + F = 2（简单封闭实心体）
- 变换 = 移动（平移）+ 旋转 + 缩放
- 挤出 = 把面或草图拉出成3D
- 渲染 = 根据模型 + 材质 + 灯光 + 相机算出最终图片
- 层数 = 模型高度 ÷ 层高
- 增材 = 一层层加材料；减材 = 把材料切掉
例题讲解
1. 一个立方体的一个面被挤出。现在有多少个顶点、边和面？用欧拉公式验证。
挤出一个面会增加4个顶点、8条边和4个面：V = 12，E = 20，F = 10。验证：12 − 20 + 10 = 2 ✓。
2. 一个4 cm高的盒子放大到1.5倍。现在多高？
缩放会把每条长度都乘以倍数：4 × 1.5 = 6 cm。
3. 一个30 mm高的模型用0.2 mm的层高打印。一共多少层？如果每层用20 s，一共多少分钟？
层数 = 30 ÷ 0.2 = 150。时间 = 150 × 20 = 3000 s = 50 分钟。
4. 你想做一个马克杯。盒子建模中会用到哪些操作？
先从圆柱开始，对顶面做内插面，再向下挤出，把里面掏空；然后把侧面的一个小方块挤出做成把手，最后细分/平滑。
常见错误
- 以为3D模型是一张图片。其实它是数据（顶点、边、面），图片是渲染出来的。
- 把挤出和缩放弄混。挤出会增加新的几何体；缩放只是改变已有部分的大小。
- 忘记单位：用于打印的CAD需要用毫米表示真实尺寸。
- 以为打印层越薄越好。层薄确实更光滑，但会慢很多。