समुच्चय (Set) क्या है?
समुच्चय चीज़ों का संग्रह है। संग्रह साफ़ होना चाहिए: हर कोई एक बात पर राज़ी हो कि कोई चीज़ उसमें है या नहीं।
- सप्ताह के दिन: समुच्चय है (7 चीज़ें, साफ़)।
- अंग्रेज़ी के स्वर: {a, e, i, o, u}। समुच्चय है।
- 10 से छोटी अभाज्य संख्याएँ: {2, 3, 5, 7}। समुच्चय है।
- स्वादिष्ट फल: समुच्चय नहीं है। स्वाद पर सब एकमत नहीं होते।
समुच्चय की हर चीज़ अवयव (element) कहलाती है। समुच्चय को { } कोष्ठक में, कॉमा लगाकर लिखते हैं। क्रम मायने नहीं रखता और चीज़ दोबारा नहीं लिखते: {1, 2, 3} और {3, 2, 1} एक ही समुच्चय हैं।
3D के चरण 1 में नीला घेरा समुच्चय A है और अंदर की गेंदें उसके अवयव हैं। समुच्चय के नाम बड़े अक्षरों में रखते हैं: A, B, C।
अवयव समुच्चय में है या नहीं
कोई चीज़ समुच्चय में है, यह लिखने के लिए ∈ चिह्न है। इसे पढ़ते हैं "में है" या "का अवयव है"।
- 4 ∈ A का मतलब 4, A में है।
- 7 ∉ A का मतलब 7, A में नहीं है। तिरछी रेखा ∈ को काट देती है।
चरण 2 में गेंदें छुओ। घेरे के अंदर की गेंद ∈ दिखाती है, बाहर की ∉। फ़ैसला करने से पहले A की पूरी सूची देखो।
गिनती: n(A) का मतलब A के अवयवों की संख्या। A = {2, 4, 6, 8, 10} के लिए n(A) = 5।
उपसमुच्चय (Subset)
समुच्चय B, समुच्चय A का उपसमुच्चय तब है जब B का हर अवयव A में भी हो। इसे B ⊂ A लिखते हैं।
जाँच कैसे करें
- B के अवयव एक-एक करके लो।
- हर एक को A में ढूँढो।
- सब मिल जाएँ तो B ⊂ A। एक भी न मिले तो B ⊄ A।
चरण 3 में B = {2, 4}: दोनों A में हैं, इसलिए B ⊂ A। चरण 4 में C = {4, 5}: 5, A में नहीं है, इसलिए C ⊄ A।
दो खास उपसमुच्चय
- हर समुच्चय अपना ही उपसमुच्चय है: A ⊂ A।
- रिक्त समुच्चय ∅ = { } में कोई अवयव नहीं है, इसलिए कोई बाहर हो ही नहीं सकता। यह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है।
अगर B ⊂ A और B, A के बराबर नहीं है, तो B उचित उपसमुच्चय (proper subset) है। उपसमुच्चय एक-दूसरे के अंदर भी हो सकते हैं, जैसे चरण 5 में: {4, 8} सम संख्याओं के अंदर, और वे {1, …, 10} के अंदर।
समुच्चय और उपसमुच्चय के और उदाहरण
- 31 दिन वाले महीने ⊂ साल के सभी महीने।
- प्राकृत संख्याएँ {1, 2, 3, …} ⊂ पूर्ण संख्याएँ {0, 1, 2, …}।
- तिरंगे के रंग {केसरिया, सफ़ेद, हरा, नीला} 4 रंगों का समुच्चय है; {केसरिया, हरा} उसका उपसमुच्चय है।
- A = {x : x शब्द "MATHS" का अक्षर है} = {M, A, T, H, S}।
n अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2ⁿ होती है। {a, b} के लिए: ∅, {a}, {b}, {a, b} = 4 उपसमुच्चय = 2²।
खुद करके देखो (Try it)
घर पर: मेज़ पर 6 चीज़ें रखो: चम्मच, काँटे और कप। यह तुम्हारा समुच्चय है। धागे से सिर्फ़ चम्मचों के चारों ओर घेरा बनाओ। क्या चम्मचों का समुच्चय सारी चीज़ों का उपसमुच्चय है? अब एक चम्मच और एक कप उठाओ: क्या यह जोड़ी चम्मचों का उपसमुच्चय है?
3D में: छूने से पहले अंदाज़ा लगाओ कि तुम्हारा समुच्चय A का उपसमुच्चय है या नहीं। फिर छूकर जाँचो। क्या 3 गेंदों का ऐसा समुच्चय बना सकते हो जो उपसमुच्चय हो? और ऐसा जो न हो?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- x ∈ A: x, A का अवयव है
- x ∉ A: x, A में नहीं है
- B ⊂ A: B का हर अवयव A में है
- n(A): A के अवयवों की संख्या
- n अवयवों वाले समुच्चय के 2ⁿ उपसमुच्चय होते हैं
हल किए गए उदाहरण
1. A = {1, 2, 3, 4, 5}. क्या 3 ∈ A? क्या 6 ∈ A?
3 सूची में है, इसलिए 3 ∈ A। 6 सूची में नहीं है, इसलिए 6 ∉ A।
2. क्या {1, 3}, A = {1, 2, 3, 4, 5} का उपसमुच्चय है?
1 लो: वह A में है। 3 लो: वह भी A में है। कोई बाहर नहीं, इसलिए {1, 3} ⊂ A।
3. क्या {2, 6}, A = {1, 2, 3, 4, 5} का उपसमुच्चय है?
2, A में है, पर 6 नहीं है। एक अवयव बाहर है, इसलिए {2, 6} ⊄ A।
4. {x, y} के सभी उपसमुच्चय लिखो।
रिक्त समुच्चय ∅, फिर {x}, फिर {y}, फिर {x, y}। कुल 4 उपसमुच्चय, और 2² = 4। सही है।
आम गलतियाँ
- दो समुच्चयों के बीच ∈ लगाना। 4 ∈ A एक अवयव के लिए है; {4} ⊂ A समुच्चय के लिए। अवयव के साथ ∈, समुच्चय के साथ ⊂।
- सोचना कि रिक्त समुच्चय उपसमुच्चय नहीं है। वह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है, क्योंकि कोई अवयव बाहर नहीं है।
- भूल जाना कि A ⊂ A सही है। हर समुच्चय अपना उपसमुच्चय होता है।
- अवयव दोहराना, जैसे {1, 1, 2}। हर अवयव एक बार लिखो: {1, 2}।