रोज़ और काम की स्थितियों में संख्याएँ
संख्याएँ कई जगह छिपी हैं: दाम, छूट, बस का समय, रेसिपी, फ़ोन का डेटा, दवा की मात्रा और तापमान। इन्हें ठीक से इस्तेमाल करने के लिए कुछ औज़ार चाहिए।
- इकाई मूल्य: दाम ÷ मात्रा। इससे बड़े और छोटे पैक की सही तुलना होती है।
- प्रतिशत: "प्रति सौ"। ₹800 पर 25% छूट यानी हर 100 पर 25 की बचत, तो ₹200 बचे।
- चाल (गति): दूरी ÷ समय। 2.5 घंटे में 150 किमी यानी 60 किमी/घंटा।
- अनुमान और पूर्णांकन: मोटा जवाब (लगभग ₹600) बताता है कि तुम्हारा सही जवाब ठीक लग रहा है या नहीं।
संख्या के साथ हमेशा इकाई लिखो: ₹, ग्राम, किमी, घंटा। बिना इकाई की संख्या भ्रम पैदा कर सकती है।
गणित से फ़ैसले लेना
गणित तुम्हारी जगह फ़ैसला नहीं करता, वह तथ्य दिखाता है। अच्छा तरीक़ा पाँच छोटे क़दम का है:
- जो पता है, लिख लो।
- सबको एक ही इकाई में लाओ।
- हिसाब लगाओ।
- तुलना करो और चुनो।
- जाँचो: जवाब ठीक लगता है? क्या इतना चाहिए भी?
उदाहरण: बड़ा पैक 100 ग्राम के हिसाब से सस्ता है, पर अगर तुम्हें थोड़ा ही चाहिए और बाक़ी ख़राब हो जाएगा, तो छोटा पैक बेहतर हो सकता है। गणित संख्या देता है, समझदारी तुम जोड़ते हो।
ग्राफ़ का संदेश पढ़ना
ग्राफ़ संख्याओं की तस्वीर है। तस्वीर सच्ची भी हो सकती है और चालाक भी। इस क्रम में पढ़ो:
- शीर्षक पढ़ो और देखो हर अक्ष क्या दिखाता है।
- देखो अक्ष कहाँ से शुरू होता है। अगर स्तंभ आलेख 0 से शुरू नहीं होता, तो छोटा अंतर बड़ा दिखता है।
- पैमाना देखो: क़दम बराबर हैं या नहीं?
- असली संख्याएँ पढ़ो, फिर संदेश एक वाक्य में कहो।
तेज़ी से चढ़ती रेखा शायद 100 से सिर्फ़ 103 तक चढ़ी हो। एक ही मान के लिए अलग-अलग आकार की तस्वीरें भी आँख को धोखा देती हैं, क्योंकि हम ऊँचाई से ज़्यादा क्षेत्रफल देखते हैं।
ख़बरों और विज्ञापनों में गणित
ख़बरें, विज्ञापन और सोशल मीडिया बड़ी संख्याएँ पसंद करते हैं। ये सवाल पूछो।
- कितने में से? "100% बढ़ा" का मतलब 1 मामले से 2 मामले भी हो सकता है।
- प्रतिशत या असली संख्या? दोनों चाहिए। 10 लोगों का 50% है 5; 1 करोड़ का 50% है 50 लाख।
- किससे पूछा गया? 10 दोस्तों का सर्वे पूरे शहर की बात नहीं कहता।
- कौन सा औसत? एक बहुत अमीर आदमी माध्य (औसत) को ऊपर खींच देता है। मध्यिका (बीच का मान) अक्सर ज़्यादा सच्ची तस्वीर देती है।
- पहले बढ़ा, फिर घटा: +20% फिर −20% से तुम वहीं नहीं लौटते। ₹500 → ₹600 → ₹480।
पेशों में गणित
हर काम कुछ गणित-औज़ार बार-बार इस्तेमाल करता है।
- नर्स: दवा की मात्रा = प्रति किलो मात्रा × शरीर का वज़न (अनुपात)।
- राजमिस्त्री: टाइल और सीमेंट मँगाने के लिए क्षेत्रफल और आयतन।
- किसान: प्रति हेक्टेयर बीज और पानी, प्रति क्विंटल भाव, लाभ-हानि।
- दुकानदार: प्रतिशत लाभ, छूट, कर (GST), माल की गिनती।
- प्रोग्रामर या गेम बनाने वाला: निर्देशांक, कोण, प्रायिकता।
- क्रिकेट विश्लेषक: औसत, स्ट्राइक रेट, ग्राफ़।
Try it: तीन दाम की जाँच
अगली बार दुकान (या ऑनलाइन दुकान) में ऐसा सामान चुनो जो दो आकार के पैक में बिकता हो। हर पैक का वज़न और दाम लिख लो। 100 ग्राम (या प्रति लीटर) का दाम निकालो। पहले अंदाज़ा लगाओ कि कौन सा सस्ता है, फिर जाँचो। क्या तुम सही थे? ऊपर 3D में B के स्लाइडर चलाकर ऐसा पैक बनाओ जिसमें छोटा पैक जीत जाए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- इकाई मूल्य = दाम ÷ मात्रा (फिर "प्रति 100 ग्राम" के लिए × 100)
- किसी संख्या का प्रतिशत = (प्रतिशत ÷ 100) × संख्या
- d% छूट के बाद दाम = दाम × (100 − d) ÷ 100
- चाल = दूरी ÷ समय
- प्रतिशत परिवर्तन = (नया − पुराना) ÷ पुराना × 100
- मुख्य शब्द: अक्ष = ग्राफ़ की संख्या-रेखा; देखो वह कहाँ से शुरू होती है
हल किए गए उदाहरण
1. पैक A: 500 ग्राम ₹60 का। पैक B: 800 ग्राम ₹88 का। कौन सा सौदा बेहतर है?
A: 60 ÷ 500 × 100 = ₹12.0 प्रति 100 ग्राम। B: 88 ÷ 800 × 100 = ₹11.0 प्रति 100 ग्राम। B प्रति 100 ग्राम ₹1 सस्ता है।
2. दुकान X में ₹800 की कमीज़ 25% छूट पर है। दुकान Y में वही ₹700 की है और 10% छूट है। कहाँ सस्ती है?
X: 800 × 0.75 = ₹600। Y: 700 × 0.90 = ₹630। दुकान X ₹30 सस्ती है।
3. प्लान 1: रोज़ 1.5 GB, 28 दिन, ₹299। प्लान 2: रोज़ 2 GB, 56 दिन, ₹579। प्रति GB कौन सस्ता है?
प्लान 1 में 1.5 × 28 = 42 GB, तो 299 ÷ 42 ≈ ₹7.12 प्रति GB। प्लान 2 में 2 × 56 = 112 GB, तो 579 ÷ 112 ≈ ₹5.17 प्रति GB। प्लान 2 प्रति GB सस्ता है।
4. एक स्तंभ आलेख का अक्ष 45 से शुरू होता है। स्तंभ 50 और 55 के हैं। दूसरा स्तंभ दुगुना ऊँचा दिखता है। असली बदलाव कितना है?
स्क्रीन पर ऊँचाई: 50 − 45 = 5 और 55 − 45 = 10, इसलिए दुगुना दिखता है। असली बदलाव: (55 − 50) ÷ 50 × 100 = 10%। कटे हुए अक्ष ने 10% को 100% जैसा दिखा दिया।
5. ख़बर कहती है "दुर्घटनाएँ 100% बढ़ीं"। पिछले साल एक चौराहे पर 1 दुर्घटना थी, इस साल 2। क्या ख़बर ग़लत है?
प्रतिशत सही है: (2 − 1) ÷ 1 × 100 = 100%। पर वह असली संख्या छिपा लेता है: सिर्फ़ एक दुर्घटना और हुई। हमेशा पूछो "कितने में से?"।
6. एक बस 2.5 घंटे में 150 किमी जाती है। इसी चाल से 210 किमी में कितना समय लगेगा?
चाल = 150 ÷ 2.5 = 60 किमी/घंटा। समय = 210 ÷ 60 = 3.5 घंटे (3 घंटे 30 मिनट)।
आम गलतियाँ
- अलग आकार के पैकों के सिर्फ़ कुल दाम की तुलना करना। एक ही मात्रा के दाम की तुलना करो।
- ग्राफ़ पढ़ते समय यह न देखना कि अक्ष कहाँ से शुरू होता है।
- सोचना कि +20% फिर −20% से वापस शुरुआत मिल जाती है। दूसरा 20% बड़ी संख्या से लिया जाता है।
- बिना "कितने में से?" पूछे प्रतिशत मान लेना। छोटे कुल से बड़े-बड़े प्रतिशत बन जाते हैं।