गणित का इतिहास क्यों पढ़ें?
गणित किसी एक व्यक्ति या देश ने नहीं बनाया। यह अफ़्रीका, एशिया, यूरोप और अमेरिका में धीरे-धीरे बढ़ा, जब लोगों ने असली समस्याएँ हल कीं: जानवर गिनना, खेत नापना, मंदिर बनाना, तारे देखना और व्यापार करना।
यह इतिहास बताता है कि हर कोई गणित कर सकता है। विचार एक संस्कृति से दूसरी में गए और हर एक ने कुछ जोड़ा। कक्षा में इसका मतलब है हर साथी के सोचने के तरीक़े का सम्मान, विचार बाँटना और एक-दूसरे की मदद करना।
गिनती और पहली संख्याएँ
निशान वाली पुरानी हड्डियाँ (जैसे मध्य अफ़्रीका की लगभग 20,000 साल पुरानी इशांगो हड्डी) शुरुआती गिनती के निशान दिखाती हैं। बाद में लोगों ने निशानों को 5 और 10 के समूह में बाँधा, क्योंकि हर हाथ में 5 उँगलियाँ हैं।
अलग-अलग अंक-पद्धतियाँ बनीं: मिस्र के चित्र-अंक, रोमन अंक (I, V, X), माया पद्धति (आधार 20, शून्य के लिए सीप) और बेबीलोन की आधार-60 पद्धति।
मिस्र और मेसोपोटामिया
नील नदी की बाढ़ के बाद मिस्र वालों को खेतों की सीमा फिर से बनानी पड़ती थी। "रस्सी खींचने वाले" बराबर गाँठों वाली रस्सी से 3, 4 और 5 भुजाओं का त्रिभुज बनाकर समकोण बनाते थे।
बेबीलोन वाले मिट्टी की पट्टियों पर आधार 60 में लिखते थे। वे समीकरण हल करते थे, कई पाइथागोरस त्रिक जानते थे, और उनका 60 आज भी 60 सेकंड, 60 मिनट और वृत्त के 360° में है।
ज्यामिति की शुरुआत: थेल्स और पाइथागोरस
मिलेटस के थेल्स (लगभग 600 ईसा पूर्व) को पहला यूनानी गणितज्ञ कहते हैं। उन्होंने छाया से पिरामिड की ऊँचाई निकाली: एक ही समय पर डंडी और पिरामिड का अनुपात ऊँचाई ÷ छाया बराबर होता है। यही समरूप त्रिभुज का विचार है (थेल्स प्रमेय, समानुपाती रेखाखंड)।
पाइथागोरस (लगभग 530 ईसा पूर्व) और उनका स्कूल समकोण त्रिभुज के नियम a² + b² = c² से जुड़े हैं। यह बात बेबीलोन और भारत के बौधायन शुल्बसूत्र में पहले से थी, पर यूनानियों ने सामान्य प्रमाण दिया।
यूक्लिड और हाइपेशिया
यूक्लिड (लगभग 300 ईसा पूर्व, अलेक्ज़ेंड्रिया) ने एलिमेंट्स लिखी: 13 किताबें जो कुछ सरल स्वयंसिद्धों (बिना प्रमाण माने गए कथन) से क़दम-दर-क़दम प्रमाण द्वारा ज्यामिति बनाती हैं। 2,000 साल से ज़्यादा इससे ज्यामिति पढ़ाई गई।
हाइपेशिया (लगभग 370–415 ईसवी, अलेक्ज़ेंड्रिया) गणित, खगोल और दर्शन की बड़ी शिक्षिका थीं। उन्होंने ज्यामिति और शंकु-परिच्छेदों (वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय, अतिपरवलय) पर टीकाएँ लिखीं। वे नाम से जानी जाने वाली पहली महिला गणितज्ञों में हैं।
शून्य, बीजगणित और विचारों की यात्रा
- भारत: शून्य सहित 10 अंकों वाला स्थानीय मान। आर्यभट (499) ने स्थानीय मान और π का अच्छा मान दिया; ब्रह्मगुप्त (628) ने शून्य और ऋणात्मक संख्याओं के नियम लिखे।
- बग़दाद: अल-ख़्वारिज़्मी (लगभग 820) की किताब के नाम से अलजेब्रा शब्द आया; "एल्गोरिदम" उनके नाम से बना।
- यूरोप: फ़िबोनाची (1202) ने हिंदू-अरबी अंक फैलाए; बाद में न्यूटन और लाइबनिज़ ने कलन बनाया।
- चीन: गिनती की छड़ें, ऋणात्मक संख्याएँ और समीकरणों की "नौ अध्याय" विधियाँ।
गणित में महिलाएँ
सदियों तक लड़कियों को स्कूल और विश्वविद्यालय से दूर रखा गया, फिर भी कई ने महान गणित किया:
- सोफ़ी जर्मेन (फ़्रांस) छिपकर पढ़ीं और पुरुष के नाम से अपना काम भेजा।
- एडा लवलेस (इंग्लैंड) ने पहला प्रकाशित कंप्यूटर प्रोग्राम लिखा (1843)।
- एमी नॉदर (जर्मनी) ने आधुनिक बीजगणित की नींव रखी और सममिति को भौतिकी के नियमों से जोड़ा।
- कैथरीन जॉनसन (अमेरिका) ने नासा के लिए अंतरिक्ष उड़ानों के रास्ते गणना किए।
- मरियम मिर्ज़ाख़ानी फ़ील्ड्स पदक (2014) जीतने वाली पहली महिला बनीं।
- शकुंतला देवी (भारत) मानसिक गणना के लिए प्रसिद्ध हुईं।
करके देखिए
12 बराबर गाँठों वाली रस्सी बनाइए (या धागे पर 13 निशान)। उसे 3-4-5 त्रिभुज में खींचिए और कोने को किताब के कोने से जाँचिए। फिर थेल्स की तरह डंडी और छाया से किसी पेड़ की ऊँचाई नापिए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- 3² + 4² = 5² → 9 + 16 = 25 (मिस्र की रस्सी वाला त्रिभुज)
- थेल्स: वस्तु की ऊँचाई ÷ उसकी छाया = डंडी की ऊँचाई ÷ उसकी छाया
- आधार 60: 1 घंटा = 60 मिनट = 3,600 सेकंड
- स्थानीय मान: 205 = 2 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1
- स्वयंसिद्ध (अभिगृहीत) = बिना प्रमाण माना गया शुरुआती कथन
- प्रमेय = स्वयंसिद्धों से सिद्ध किया गया कथन
हल किए गए उदाहरण
1. एक ही समय पर 1 m की डंडी की छाया 1.5 m है और एक मीनार की छाया 30 m है। मीनार कितनी ऊँची है?
ऊँचाई ÷ छाया बराबर है। मीनार ÷ 30 = 1 ÷ 1.5। मीनार = 30 ÷ 1.5 = 20 m।
2. दिखाइए कि 3, 4 और 5 भुजाओं वाले रस्सी त्रिभुज में समकोण है।
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²। भुजाएँ a² + b² = c² मानती हैं, इसलिए 5 के सामने का कोण 90° है।
3. 307 संख्या में शून्य क्यों चाहिए?
307 = 3 सैकड़े, 0 दहाई, 7 इकाई। शून्य के बिना अंक 37 बन जाते, जो अलग संख्या है। शून्य ख़ाली दहाई स्थान भरता है।
आम गलतियाँ
- यह सोचना कि गणित एक ही जगह बना। यह अफ़्रीका, एशिया, यूरोप और अमेरिका में बढ़ा और विचार आपस में गए।
- यह मानना कि a² + b² = c² सबसे पहले पाइथागोरस ने जाना। बेबीलोन और भारत पहले से त्रिक जानते थे; यूनानियों ने सामान्य प्रमाण दिया।
- हमारे अंकों को सिर्फ़ 'अरबी' कहना। वे भारत में बने और अरब विद्वानों के ज़रिए यूरोप पहुँचे, इसलिए हिंदू-अरबी अंक कहते हैं।
- यह मानना कि महिला गणितज्ञ नहीं हुईं। हाइपेशिया, जर्मेन, लवलेस, नॉदर और मिर्ज़ाख़ानी कुछ उदाहरण हैं।