波的叠加与相干光源
两列波相遇时，某点的总振动等于两列波各自振动之和，这叫叠加原理。如果两列振幅都为 a 的光波以相位差 φ 相遇，合成光强为 I = 4I₀ cos²(φ/2)。
- 干涉相长：φ = 0, 2π, 4π…（光程差 0, λ, 2λ…）→ I = 4I₀（亮）。
- 干涉相消：φ = π, 3π…（光程差 λ/2, 3λ/2…）→ I = 0（暗）。
要得到稳定的图样，光源必须是相干的：频率相同，而且相位差保持不变。两个分开的灯泡不是相干光源，它们的相位每秒随机变化上百万次，条纹移动太快，眼睛看不出来，屏上只是均匀发亮（I = I₁ + I₂）。所以杨氏把同一个光源发出的光分到两条缝里。激光的相干性非常好。
杨氏双缝实验
托马斯·杨（1801 年）让一条窄缝发出的光照到两条靠得很近的平行缝 S₁ 和 S₂ 上（间距 d）。屏放在距离 D 处（D ≫ d）。他看到了等间距的明暗相间的带子，叫做条纹。
光程差
屏上点 P 在中心 O 上方高度 y 处，它到 S₂ 比到 S₁ 多走的路程是 Δ = S₂P − S₁P ≈ yd/D。
亮纹
Δ = nλ → yₙ = nλD/d（n = 0, 1, 2…）。中心 O（n = 0）永远是亮的。
暗纹
Δ = (n + ½)λ → yₙ = (n + ½)λD/d。
条纹间距
相邻两条亮纹（或暗纹）之间的距离是
β = λD/d
所有条纹宽度相同。角间距 θ = λ/d。
什么会改变条纹？
- λ 更长（红光）→ 条纹更宽；蓝光的条纹更窄。
- 屏离得更远（D 更大）→ 条纹更宽。
- 两缝更近（d 更小）→ 条纹更宽。
- 整套装置放进水里 → λ 变成 λ/n，所以 β 变成 β/n。
- 白光 → 中央条纹是白色，其他条纹带颜色（内侧偏紫，外侧偏红），而且只能看到几条。
- 能量没有损失：只是从暗处转移到了亮处。
单缝衍射
衍射是光绕过小孔或障碍物的边缘而弯曲、散开的现象。当孔的大小和波长相差不大时，现象很明显。
让光照到一条宽度为 a 的窄缝上。可以把这条缝想成许多并排的小小惠更斯波源。正前方，它们同步到达，所以中央亮纹很亮。
第一个暗纹
在某个角度，缝的上下两边缘的光程差为 λ。把缝分成两半：上半部分的每个点都能和下半部分的对应点相互抵消。所以第一个极小出现在 a sin θ = λ，即 θ ≈ λ/a。极小的位置：a sin θ = nλ。
中央亮纹的宽度
它从 −λ/a 一直到 +λ/a，所以角宽度是 2λ/a，在屏上的宽度是
中央亮纹宽度 = 2λD/a
它是每条侧亮纹宽度的两倍，而且侧亮纹（大约在 a sin θ ≈ (n + ½)λ 处）要暗得多。缝越窄，中央亮纹反而越宽。
干涉与衍射的区别
| 干涉 | 衍射（单缝） |
|---|---|
| 两个相干光源发出的波重叠 | 同一条缝不同部分发出的子波重叠 |
| 所有条纹宽度相等 | 中央亮纹的宽度是其他亮纹的两倍 |
| 所有亮纹亮度差不多 | 离中心越远，亮度下降得越快 |
| 暗纹完全是暗的 | 极小处是暗的，侧亮纹很弱 |
真实的双缝实验中，两种现象同时出现：干涉条纹分布在每条缝产生的宽衍射图样之内。
试一试：用手指看衍射
把两根手指紧紧靠在一起放在一只眼睛前，留一条细如发丝的缝，透过它看明亮的日光灯管。你会看到缝里有细细的暗线，这就是衍射图样。把缝捏得更窄：图样会铺得更宽（a 变小，2λD/a 变大）。在 3D 里，先猜一猜 d 加倍时 β 会怎样变化，再拖动滑块检验。
重点公式和概念
- I = 4I₀ cos²(φ/2); φ = (2π/λ) × path difference
- Path difference Δ = yd/D
- Bright: Δ = nλ, yₙ = nλD/d
- Dark: Δ = (n + ½)λ, yₙ = (n + ½)λD/d
- Fringe width β = λD/d; angular width = λ/d
- Single slit minima: a sin θ = nλ
- Central maximum width = 2λD/a (angular 2λ/a)
例题讲解
1. 在杨氏实验中，λ = 600 nm，d = 0.5 mm，D = 1 m。求条纹间距。
第 1 步：β = λD/d。第 2 步：= 600 × 10⁻⁹ × 1 / 0.5 × 10⁻³。第 3 步：β = 1.2 × 10⁻³ m = 1.2 mm。
2. 装置不变（β = 1.2 mm），求第 3 条亮纹和第 2 条暗纹到中心的距离。
第 1 步：第 3 条亮纹：y = 3β = 3.6 mm。第 2 步：第 2 条暗纹（n = 1）：y = (1 + ½)β = 1.5 × 1.2 = 1.8 mm。
3. 条纹间距为 2 mm，D = 1.2 m，d = 0.3 mm。求波长。
第 1 步：λ = βd/D。第 2 步：= 2 × 10⁻³ × 0.3 × 10⁻³ / 1.2。第 3 步：λ = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm。
4. 如果 (a) D 加倍，(b) d 加倍，(c) 把装置放进水中（n = 4/3），原来 β = 1.2 mm 会怎样变化？
第 1 步：β ∝ D，所以 (a) β = 2.4 mm。第 2 步：β ∝ 1/d，所以 (b) β = 0.6 mm。第 3 步：λ 变成 λ/n，所以 (c) β = 1.2 × 3/4 = 0.9 mm。
5. 屏上某点 P 的光程差是 1800 nm，光的 λ = 600 nm。P 是亮还是暗？如果 λ = 720 nm 呢？
第 1 步：1800/600 = 3，是整数 → 亮（第 3 条亮纹）。第 2 步：1800/720 = 2.5 → 是半整数 → 暗。
6. 两列强度都为 I₀ 的相干波以相位差 π/2 相遇。求合成强度。
第 1 步：I = 4I₀ cos²(φ/2)。第 2 步：= 4I₀ cos²(45°) = 4I₀ × ½。第 3 步：I = 2I₀。
7. λ = 500 nm 的光照到宽 0.2 mm 的单缝上，屏在 2 m 远处。求中央亮纹的宽度。
第 1 步：宽度 = 2λD/a。第 2 步：= 2 × 500 × 10⁻⁹ × 2 / 0.2 × 10⁻³。第 3 步：= 1 × 10⁻² m = 10 mm。
8. 在单缝实验中，红光（660 nm）的第一个极小出现在 30° 处。求缝宽。
第 1 步：a sin θ = λ。第 2 步：a = 660 nm / sin 30° = 660/0.5。第 3 步：a = 1320 nm = 1.32 μm。
9. 双缝实验（d = 2 mm，D = 1.2 m）中同时使用 650 nm 和 520 nm 两种波长。求两种光的亮纹重合处离中心的最小距离。
第 1 步：n₁ × 650 = n₂ × 520 → n₁/n₂ = 4/5。第 2 步：最小 y = 4 × 650 × 10⁻⁹ × 1.2 / 2 × 10⁻³。第 3 步：y = 1.56 × 10⁻³ m = 1.56 mm。
常见错误
- 把公式写成 β = λd/D。正确的是 β = λD/d（D 在分子，d 在分母）。
- 忘记换算单位：d 用 mm、λ 用 nm 时，都要先换成米。
- 说单缝中央亮纹的宽度是 λD/a。其实是 2λD/a。
- 以为两个分开的手电筒也能产生稳定条纹。它们不是相干光源。