Überlagerung und kohärente Quellen
Wenn sich zwei Wellen treffen, ist die gesamte Auslenkung an einem Punkt die Summe beider: Das ist das Superpositionsprinzip. Treffen zwei Lichtwellen der Amplitude a mit der Phasendifferenz φ zusammen, ist die Gesamtintensität I = 4I₀ cos²(φ/2).
- Konstruktive Interferenz: φ = 0, 2π, 4π… (Gangunterschied 0, λ, 2λ…) → I = 4I₀ (hell).
- Destruktive Interferenz: φ = π, 3π… (Gangunterschied λ/2, 3λ/2…) → I = 0 (dunkel).
Für ein stabiles Muster müssen die Quellen kohärent sein: gleiche Frequenz und eine konstante Phasendifferenz. Zwei getrennte Glühbirnen sind nicht kohärent – ihre Phasen ändern sich zufällig millionenfach pro Sekunde, die Streifen springen zu schnell, und der Schirm wirkt gleichmäßig hell (I = I₁ + I₂). Deshalb teilte Young das Licht einer Quelle auf zwei Spalte auf. Ein Laser liefert besonders kohärentes Licht.
Der Youngsche Doppelspaltversuch
Thomas Young (1801) ließ Licht durch einen einzelnen schmalen Spalt auf zwei nahe, parallele Spalte S₁ und S₂ (Abstand d) fallen. Ein Schirm stand im Abstand D (D ≫ d). Er sah gleichmäßig verteilte helle und dunkle Bänder, die man Streifen nennt.
Gangunterschied
Für einen Punkt P in der Höhe y über der Mitte O ist der zusätzliche Weg von S₂ gleich Δ = S₂P − S₁P ≈ yd/D.
Helle Streifen
Δ = nλ → yₙ = nλD/d (n = 0, 1, 2…). Die Mitte O (n = 0) ist immer hell.
Dunkle Streifen
Δ = (n + ½)λ → yₙ = (n + ½)λD/d.
Streifenbreite
Der Abstand zwischen zwei benachbarten hellen (oder dunklen) Streifen ist
β = λD/d
Alle Streifen sind gleich breit. Die Winkelbreite ist θ = λ/d.
Was verändert die Streifen?
- Größeres λ (rot) → breitere Streifen; blaues Licht gibt schmalere Streifen.
- Schirm weiter weg (größeres D) → breitere Streifen.
- Spalte näher beieinander (kleineres d) → breitere Streifen.
- Ganzer Aufbau in Wasser → λ wird zu λ/n, also wird β zu β/n.
- Weißes Licht → der mittlere Streifen ist weiß, die anderen sind farbig (innen violett, außen rot), und man sieht nur wenige Streifen.
- Energie geht nicht verloren: Sie wird nur von dunklen Stellen zu hellen Stellen verschoben.
Beugung am Einzelspalt
Beugung heißt, dass sich Licht an der Kante einer kleinen Öffnung oder eines Hindernisses um die Ecke biegt und ausbreitet. Man bemerkt sie, wenn die Öffnung nicht viel größer als die Wellenlänge ist.
Richte Licht auf einen schmalen Spalt der Breite a. Stell dir den Spalt als viele winzige Huygens-Quellen nebeneinander vor. Geradeaus kommen alle im Gleichtakt an: Das Hauptmaximum ist hell.
Das erste dunkle Band
Bei einem Winkel, unter dem der Gangunterschied zwischen oberem und unterem Rand λ beträgt, teilen wir den Spalt in zwei Hälften: Jeder Punkt der oberen Hälfte löscht einen Partner in der unteren Hälfte aus. Das erste Minimum liegt also bei a sin θ = λ, also θ ≈ λ/a. Minima: a sin θ = nλ.
Breite des Hauptmaximums
Es reicht von −λ/a bis +λ/a, die Winkelbreite ist also 2λ/a, und auf dem Schirm gilt
Breite des Hauptmaximums = 2λD/a
Es ist doppelt so breit wie jedes Nebenband, und die Nebenmaxima (bei a sin θ ≈ (n + ½)λ) sind viel schwächer. Ein schmalerer Spalt gibt ein breiteres Mittelband.
Interferenz und Beugung im Vergleich
| Interferenz | Beugung (Einzelspalt) |
|---|---|
| Wellen von zwei kohärenten Quellen überlagern sich | Elementarwellen aus verschiedenen Teilen eines Spalts überlagern sich |
| Alle Streifen sind gleich breit | Das Hauptmaximum ist doppelt so breit wie die anderen |
| Alle hellen Streifen sind etwa gleich hell | Die Helligkeit nimmt zum Rand hin schnell ab |
| Dunkle Streifen sind ganz dunkel | Minima sind dunkel, Nebenmaxima schwach |
Bei einem echten Doppelspalt passiert beides: Die Interferenzstreifen liegen innerhalb des breiten Beugungsmusters jedes Spalts.
Probier es aus: Beugung mit den Fingern sehen
Halte zwei Finger ganz dicht vor ein Auge, sodass nur ein haardünner Spalt bleibt, und schau durch ihn auf eine helle Leuchtstoffröhre. Du siehst dünne dunkle Linien entlang des Spalts – ein Beugungsmuster. Drücke den Spalt enger zusammen: Das Muster wird breiter (kleineres a, größeres 2λD/a). Überlege dir im 3D-Modell, was mit β passiert, wenn du d verdoppelst, und prüfe es dann mit dem Regler.
Wichtige Formeln und Definitionen
- I = 4I₀ cos²(φ/2); φ = (2π/λ) × Gangunterschied
- Gangunterschied Δ = yd/D
- Hell: Δ = nλ, yₙ = nλD/d
- Dunkel: Δ = (n + ½)λ, yₙ = (n + ½)λD/d
- Streifenbreite β = λD/d; Winkelbreite = λ/d
- Minima am Einzelspalt: a sin θ = nλ
- Breite des Hauptmaximums = 2λD/a (Winkel 2λ/a)
Gelöste Beispiele
1. Beim Youngschen Versuch ist λ = 600 nm, d = 0.5 mm, D = 1 m. Berechne die Streifenbreite.
Schritt 1: β = λD/d. Schritt 2: = 600 × 10⁻⁹ × 1 / 0.5 × 10⁻³. Schritt 3: β = 1.2 × 10⁻³ m = 1.2 mm.
2. Bei demselben Aufbau (β = 1.2 mm): Wie weit liegen der 3. helle Streifen und der 2. dunkle Streifen von der Mitte entfernt?
Schritt 1: 3. heller Streifen: y = 3β = 3.6 mm. Schritt 2: 2. dunkler Streifen (n = 1): y = (1 + ½)β = 1.5 × 1.2 = 1.8 mm.
3. Die Streifenbreite beträgt 2 mm bei D = 1.2 m und d = 0.3 mm. Berechne die Wellenlänge.
Schritt 1: λ = βd/D. Schritt 2: = 2 × 10⁻³ × 0.3 × 10⁻³ / 1.2. Schritt 3: λ = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm.
4. Was geschieht mit β = 1.2 mm, wenn (a) D verdoppelt wird, (b) d verdoppelt wird, (c) der Aufbau in Wasser (n = 4/3) steht?
Schritt 1: β ∝ D, also (a) β = 2.4 mm. Schritt 2: β ∝ 1/d, also (b) β = 0.6 mm. Schritt 3: λ wird zu λ/n, also (c) β = 1.2 × 3/4 = 0.9 mm.
5. An einem Punkt P des Schirms beträgt der Gangunterschied 1800 nm bei Licht mit λ = 600 nm. Ist P hell oder dunkel? Und bei λ = 720 nm?
Schritt 1: 1800/600 = 3, eine ganze Zahl → hell (3. heller Streifen). Schritt 2: 1800/720 = 2.5 → halbe Zahl → dunkel.
6. Zwei kohärente Wellen mit je der Intensität I₀ treffen sich mit der Phasendifferenz π/2. Berechne die Gesamtintensität.
Schritt 1: I = 4I₀ cos²(φ/2). Schritt 2: = 4I₀ cos²(45°) = 4I₀ × ½. Schritt 3: I = 2I₀.
7. Licht mit λ = 500 nm fällt auf einen Einzelspalt der Breite 0.2 mm. Der Schirm ist 2 m entfernt. Berechne die Breite des Hauptmaximums.
Schritt 1: Breite = 2λD/a. Schritt 2: = 2 × 500 × 10⁻⁹ × 2 / 0.2 × 10⁻³. Schritt 3: = 1 × 10⁻² m = 10 mm.
8. Bei einem Einzelspaltversuch liegt das erste Minimum für rotes Licht (660 nm) bei 30°. Berechne die Spaltbreite.
Schritt 1: a sin θ = λ. Schritt 2: a = 660 nm / sin 30° = 660/0.5. Schritt 3: a = 1320 nm = 1.32 μm.
9. Zwei Wellenlängen, 650 nm und 520 nm, werden gemeinsam an einem Doppelspalt verwendet (d = 2 mm, D = 1.2 m). Berechne den kleinsten Abstand von der Mitte, an dem helle Streifen beider Farben zusammenfallen.
Schritt 1: n₁ × 650 = n₂ × 520 → n₁/n₂ = 4/5. Schritt 2: kleinstes y = 4 × 650 × 10⁻⁹ × 1.2 / 2 × 10⁻³. Schritt 3: y = 1.56 × 10⁻³ m = 1.56 mm.
Häufige Fehler
- β = λd/D schreiben. Richtig ist β = λD/d (D oben, d unten).
- Einheiten nicht umrechnen: d in mm und λ in nm müssen in Meter umgewandelt werden.
- Sagen, das Hauptmaximum am Einzelspalt habe die Breite λD/a. Richtig ist 2λD/a.
- Glauben, dass zwei getrennte Taschenlampen stabile Streifen erzeugen. Sie sind nicht kohärent.