Superposition et sources cohérentes
Quand deux ondes se rencontrent, la perturbation totale en un point est la somme des deux : c'est le principe de superposition. Si deux ondes lumineuses d'amplitude a se rencontrent avec un déphasage φ, l'intensité résultante est I = 4I₀ cos²(φ/2).
- Interférence constructive : φ = 0, 2π, 4π… (différence de marche 0, λ, 2λ…) → I = 4I₀ (brillant).
- Interférence destructive : φ = π, 3π… (différence de marche λ/2, 3λ/2…) → I = 0 (sombre).
Pour avoir une figure stable, les sources doivent être cohérentes : même fréquence et déphasage constant. Deux ampoules séparées ne sont pas cohérentes : leurs phases changent au hasard des millions de fois par seconde, donc les franges bougent trop vite pour être vues et l'écran paraît éclairé uniformément (I = I₁ + I₂). C'est pour cela que Young a séparé la lumière d'une seule source en deux fentes. Un laser donne une lumière très cohérente.
L'expérience des fentes de Young
Thomas Young (1801) a envoyé la lumière d'une seule fente fine sur deux fentes parallèles très proches, S₁ et S₂ (écart d). Un écran était placé à une distance D (D ≫ d). Il a vu des bandes brillantes et sombres régulièrement espacées, appelées franges.
Différence de marche
Pour un point P à la hauteur y au-dessus du centre O, la distance en plus depuis S₂ est Δ = S₂P − S₁P ≈ yd/D.
Franges brillantes
Δ = nλ → yₙ = nλD/d (n = 0, 1, 2…). Le centre O (n = 0) est toujours brillant.
Franges sombres
Δ = (n + ½)λ → yₙ = (n + ½)λD/d.
Largeur des franges
La distance entre deux franges brillantes (ou sombres) voisines est
β = λD/d
Toutes les franges ont la même largeur. Largeur angulaire θ = λ/d.
Qu'est-ce qui change les franges ?
- λ plus grande (rouge) → franges plus larges ; la lumière bleue donne des franges plus étroites.
- Écran plus loin (D plus grand) → franges plus larges.
- Fentes plus proches (d plus petit) → franges plus larges.
- Tout le montage dans l'eau → λ devient λ/n, donc β devient β/n.
- Lumière blanche → frange centrale blanche, les autres colorées (violet du côté intérieur, rouge à l'extérieur), et on ne voit que quelques franges.
- L'énergie n'est pas perdue : elle est seulement déplacée des endroits sombres vers les endroits brillants.
Diffraction par une fente simple
La diffraction est la déviation et l'étalement de la lumière au bord d'une petite ouverture ou d'un obstacle. On la remarque quand l'ouverture n'est pas beaucoup plus grande que la longueur d'onde.
Éclaire une seule fente fine de largeur a. Imagine la fente comme plein de minuscules sources de Huygens côte à côte. Droit devant, elles arrivent toutes en phase : la tache centrale est brillante.
Première bande sombre
À l'angle où la différence de marche entre le haut et le bas de la fente vaut λ, coupe la fente en deux moitiés : chaque point de la moitié haute annule un point partenaire de la moitié basse. Le premier minimum est donc en a sin θ = λ, soit θ ≈ λ/a. Minima : a sin θ = nλ.
Largeur de la tache centrale
De −λ/a à +λ/a : la largeur angulaire est 2λ/a et, sur l'écran,
largeur de la tache centrale = 2λD/a
Elle est deux fois plus large que chaque bande latérale, et les maxima latéraux (vers a sin θ ≈ (n + ½)λ) sont bien plus faibles. Une fente plus étroite donne une tache centrale plus large.
Interférence et diffraction : la différence
| Interférence | Diffraction (fente simple) |
|---|---|
| Les ondes de deux sources cohérentes se superposent | Les ondelettes de différentes parties d'une seule fente se superposent |
| Toutes les franges ont la même largeur | La tache centrale est deux fois plus large que les autres |
| Toutes les franges brillantes ont à peu près la même intensité | L'intensité diminue vite en s'éloignant du centre |
| Les franges sombres sont totalement sombres | Les minima sont sombres, les maxima latéraux faibles |
Dans de vraies fentes de Young, les deux phénomènes ont lieu : les franges d'interférence se placent dans la large figure de diffraction de chaque fente.
À toi : voir la diffraction avec tes doigts
Tiens deux doigts très près l'un de l'autre devant un œil, en laissant un écart fin comme un cheveu, et regarde un tube lumineux à travers. Tu verras de fines lignes sombres le long de l'écart : c'est une figure de diffraction. Resserre l'écart : la figure s'élargit (a plus petit, 2λD/a plus grand). Dans la 3D, prévois ce qui arrive à β quand tu doubles d, puis bouge le curseur pour vérifier.
Formules et définitions clés
- I = 4I₀ cos²(φ/2); φ = (2π/λ) × différence de marche
- Différence de marche Δ = yd/D
- Brillant : Δ = nλ, yₙ = nλD/d
- Sombre : Δ = (n + ½)λ, yₙ = (n + ½)λD/d
- Largeur des franges β = λD/d ; largeur angulaire = λ/d
- Minima d'une fente simple : a sin θ = nλ
- Largeur de la tache centrale = 2λD/a (angulaire 2λ/a)
Exemples résolus
1. Dans l'expérience de Young, λ = 600 nm, d = 0.5 mm, D = 1 m. Trouve la largeur des franges.
Étape 1 : β = λD/d. Étape 2 : = 600 × 10⁻⁹ × 1 / 0.5 × 10⁻³. Étape 3 : β = 1.2 × 10⁻³ m = 1.2 mm.
2. Avec le même montage (β = 1.2 mm), trouve la distance au centre de la 3e frange brillante et de la 2e frange sombre.
Étape 1 : 3e brillante : y = 3β = 3.6 mm. Étape 2 : 2e sombre (n = 1) : y = (1 + ½)β = 1.5 × 1.2 = 1.8 mm.
3. La largeur des franges est 2 mm avec D = 1.2 m et d = 0.3 mm. Trouve la longueur d'onde.
Étape 1 : λ = βd/D. Étape 2 : = 2 × 10⁻³ × 0.3 × 10⁻³ / 1.2. Étape 3 : λ = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm.
4. Que devient β = 1.2 mm si (a) D est doublé, (b) d est doublé, (c) tout le montage est plongé dans l'eau (n = 4/3) ?
Étape 1 : β ∝ D, donc (a) β = 2.4 mm. Étape 2 : β ∝ 1/d, donc (b) β = 0.6 mm. Étape 3 : λ devient λ/n, donc (c) β = 1.2 × 3/4 = 0.9 mm.
5. En un point P de l'écran, la différence de marche est 1800 nm pour une lumière de λ = 600 nm. P est-il brillant ou sombre ? Et si λ = 720 nm ?
Étape 1 : 1800/600 = 3, nombre entier → brillant (3e frange brillante). Étape 2 : 1800/720 = 2.5 → nombre entier plus un demi → sombre.
6. Deux ondes cohérentes d'intensité I₀ chacune se rencontrent avec un déphasage de π/2. Trouve l'intensité résultante.
Étape 1 : I = 4I₀ cos²(φ/2). Étape 2 : = 4I₀ cos²(45°) = 4I₀ × ½. Étape 3 : I = 2I₀.
7. Une lumière de λ = 500 nm tombe sur une fente simple de largeur 0.2 mm. L'écran est à 2 m. Trouve la largeur de la tache centrale.
Étape 1 : largeur = 2λD/a. Étape 2 : = 2 × 500 × 10⁻⁹ × 2 / 0.2 × 10⁻³. Étape 3 : = 1 × 10⁻² m = 10 mm.
8. Dans une expérience de fente simple, le premier minimum pour la lumière rouge (660 nm) est à 30°. Trouve la largeur de la fente.
Étape 1 : a sin θ = λ. Étape 2 : a = 660 nm / sin 30° = 660/0.5. Étape 3 : a = 1320 nm = 1.32 μm.
9. Deux longueurs d'onde, 650 nm et 520 nm, sont utilisées ensemble avec des fentes de Young (d = 2 mm, D = 1.2 m). Trouve la plus petite distance au centre où leurs franges brillantes coïncident.
Étape 1 : n₁ × 650 = n₂ × 520 → n₁/n₂ = 4/5. Étape 2 : plus petit y = 4 × 650 × 10⁻⁹ × 1.2 / 2 × 10⁻³. Étape 3 : y = 1.56 × 10⁻³ m = 1.56 mm.
Erreurs fréquentes
- Écrire β = λd/D. La bonne formule est β = λD/d (D en haut, d en bas).
- Oublier de convertir les unités : d en mm et λ en nm doivent être passés en mètres.
- Dire que la tache centrale d'une fente simple a pour largeur λD/a. Elle vaut 2λD/a.
- Croire que deux lampes de poche séparées peuvent donner des franges stables. Elles ne sont pas cohérentes.