Sovrapposizione e sorgenti coerenti
Quando due onde si incontrano, la perturbazione totale in un punto è la somma delle due: è il principio di sovrapposizione. Se due onde luminose di ampiezza a si incontrano con differenza di fase φ, l'intensità risultante è I = 4I₀ cos²(φ/2).
- Interferenza costruttiva: φ = 0, 2π, 4π… (differenza di cammino 0, λ, 2λ…) → I = 4I₀ (chiaro).
- Interferenza distruttiva: φ = π, 3π… (differenza di cammino λ/2, 3λ/2…) → I = 0 (scuro).
Per avere una figura stabile, le sorgenti devono essere coerenti: stessa frequenza e differenza di fase costante. Due lampadine separate non sono coerenti: le loro fasi cambiano a caso milioni di volte al secondo, quindi le frange si spostano troppo in fretta per essere viste e lo schermo appare illuminato in modo uniforme (I = I₁ + I₂). Per questo Young divise la luce di una sola sorgente in due fenditure. Un laser dà luce molto coerente.
L'esperimento della doppia fenditura di Young
Thomas Young (1801) fece arrivare la luce di una singola fenditura stretta su due fenditure parallele e vicine, S₁ e S₂ (distanza d). Uno schermo era posto a distanza D (D ≫ d). Vide bande chiare e scure a distanze uguali, chiamate frange.
Differenza di cammino
Per un punto P all'altezza y sopra il centro O, la distanza in più da S₂ è Δ = S₂P − S₁P ≈ yd/D.
Frange chiare
Δ = nλ → yₙ = nλD/d (n = 0, 1, 2…). Il centro O (n = 0) è sempre chiaro.
Frange scure
Δ = (n + ½)λ → yₙ = (n + ½)λD/d.
Interfrangia
La distanza tra due frange chiare (o scure) vicine è
β = λD/d
Tutte le frange hanno la stessa larghezza. L'interfrangia angolare è θ = λ/d.
Che cosa cambia le frange?
- λ più lunga (rosso) → frange più larghe; la luce blu dà frange più strette.
- Schermo più lontano (D più grande) → frange più larghe.
- Fenditure più vicine (d più piccola) → frange più larghe.
- Tutto l'apparato in acqua → λ diventa λ/n, quindi β diventa β/n.
- Luce bianca → frangia centrale bianca, le altre colorate (viola dal lato interno, rosso da quello esterno), e si vedono solo poche frange.
- L'energia non si perde: viene solo spostata dai punti scuri ai punti chiari.
Diffrazione da fenditura singola
La diffrazione è la deviazione e l'apertura della luce attorno al bordo di una piccola apertura o di un ostacolo. Si nota quando l'apertura non è molto più grande della lunghezza d'onda.
Manda luce su una sola fenditura stretta di larghezza a. Immagina la fenditura come tante piccole sorgenti di Huygens una accanto all'altra. In avanti arrivano tutte in fase: il massimo centrale è luminoso.
La prima banda scura
Ad un angolo in cui la differenza di cammino tra il bordo alto e quello basso è λ, dividi la fenditura in due metà: ogni punto della metà alta annulla un punto corrispondente della metà bassa. Quindi il primo minimo è a a sin θ = λ, cioè θ ≈ λ/a. Minimi: a sin θ = nλ.
Larghezza del massimo centrale
Va da −λ/a a +λ/a, quindi la larghezza angolare è 2λ/a e sullo schermo
larghezza del massimo centrale = 2λD/a
È larga il doppio di ogni banda laterale, e i massimi laterali (vicino a a sin θ ≈ (n + ½)λ) sono molto più deboli. Una fenditura più stretta dà una banda centrale più larga.
Interferenza e diffrazione a confronto
| Interferenza | Diffrazione (fenditura singola) |
|---|---|
| Si sovrappongono le onde di due sorgenti coerenti | Si sovrappongono le onde secondarie di parti diverse di una sola fenditura |
| Tutte le frange hanno la stessa larghezza | Il massimo centrale è largo il doppio degli altri |
| Tutte le frange chiare hanno circa la stessa luminosità | La luminosità cala in fretta allontanandosi dal centro |
| Le frange scure sono completamente scure | I minimi sono scuri, i massimi laterali deboli |
In una doppia fenditura reale succedono entrambe le cose: le frange di interferenza stanno dentro l'ampia figura di diffrazione di ciascuna fenditura.
Prova tu: vedi la diffrazione con le dita
Tieni due dita molto vicine davanti a un occhio, lasciando una fessura sottile come un capello, e guarda attraverso di essa un tubo al neon acceso. Vedrai sottili linee scure lungo la fessura: è una figura di diffrazione. Stringi la fessura: la figura si allarga (a più piccola, 2λD/a più grande). Nel 3D, prevedi che cosa succede a β se raddoppi d, poi muovi il cursore per controllare.
Formule e definizioni chiave
- I = 4I₀ cos²(φ/2); φ = (2π/λ) × differenza di cammino
- Differenza di cammino Δ = yd/D
- Chiaro: Δ = nλ, yₙ = nλD/d
- Scuro: Δ = (n + ½)λ, yₙ = (n + ½)λD/d
- Interfrangia β = λD/d; larghezza angolare = λ/d
- Minimi della fenditura singola: a sin θ = nλ
- Larghezza del massimo centrale = 2λD/a (angolare 2λ/a)
Esempi svolti
1. Nell'esperimento di Young, λ = 600 nm, d = 0.5 mm, D = 1 m. Trova l'interfrangia.
Passo 1: β = λD/d. Passo 2: = 600 × 10⁻⁹ × 1 / 0.5 × 10⁻³. Passo 3: β = 1.2 × 10⁻³ m = 1.2 mm.
2. Con lo stesso montaggio (β = 1.2 mm), trova la distanza dal centro della 3ª frangia chiara e della 2ª frangia scura.
Passo 1: 3ª chiara: y = 3β = 3.6 mm. Passo 2: 2ª scura (n = 1): y = (1 + ½)β = 1.5 × 1.2 = 1.8 mm.
3. L'interfrangia è 2 mm con D = 1.2 m e d = 0.3 mm. Trova la lunghezza d'onda.
Passo 1: λ = βd/D. Passo 2: = 2 × 10⁻³ × 0.3 × 10⁻³ / 1.2. Passo 3: λ = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm.
4. Che cosa succede a β = 1.2 mm se (a) D raddoppia, (b) d raddoppia, (c) l'apparato è immerso in acqua (n = 4/3)?
Passo 1: β ∝ D, quindi (a) β = 2.4 mm. Passo 2: β ∝ 1/d, quindi (b) β = 0.6 mm. Passo 3: λ diventa λ/n, quindi (c) β = 1.2 × 3/4 = 0.9 mm.
5. In un punto P dello schermo la differenza di cammino è 1800 nm per luce di λ = 600 nm. P è chiaro o scuro? E se λ = 720 nm?
Passo 1: 1800/600 = 3, numero intero → chiaro (3ª frangia chiara). Passo 2: 1800/720 = 2.5 → numero e mezzo → scuro.
6. Due onde coerenti, ciascuna di intensità I₀, si incontrano con differenza di fase π/2. Trova l'intensità risultante.
Passo 1: I = 4I₀ cos²(φ/2). Passo 2: = 4I₀ cos²(45°) = 4I₀ × ½. Passo 3: I = 2I₀.
7. Luce di λ = 500 nm cade su una fenditura singola larga 0.2 mm. Lo schermo è a 2 m. Trova la larghezza del massimo centrale.
Passo 1: larghezza = 2λD/a. Passo 2: = 2 × 500 × 10⁻⁹ × 2 / 0.2 × 10⁻³. Passo 3: = 1 × 10⁻² m = 10 mm.
8. In un esperimento con fenditura singola, il primo minimo per la luce rossa (660 nm) è a 30°. Trova la larghezza della fenditura.
Passo 1: a sin θ = λ. Passo 2: a = 660 nm / sin 30° = 660/0.5. Passo 3: a = 1320 nm = 1.32 μm.
9. Due lunghezze d'onda, 650 nm e 520 nm, si usano insieme in una doppia fenditura (d = 2 mm, D = 1.2 m). Trova la minima distanza dal centro in cui coincidono le loro frange chiare.
Passo 1: n₁ × 650 = n₂ × 520 → n₁/n₂ = 4/5. Passo 2: y minima = 4 × 650 × 10⁻⁹ × 1.2 / 2 × 10⁻³. Passo 3: y = 1.56 × 10⁻³ m = 1.56 mm.
Errori comuni
- Scrivere β = λd/D. La formula giusta è β = λD/d (D sopra, d sotto).
- Dimenticare le conversioni: d in mm e λ in nm vanno trasformati in metri.
- Dire che il massimo centrale di una fenditura singola è largo λD/a. È largo 2λD/a.
- Pensare che due torce separate possano dare frange stabili. Non sono coerenti.