Superposición y fuentes coherentes
Cuando dos ondas se encuentran, la perturbación total en un punto es la suma de las dos: es el principio de superposición. Si dos ondas de luz de amplitud a se encuentran con una diferencia de fase φ, la intensidad resultante es I = 4I₀ cos²(φ/2).
- Interferencia constructiva: φ = 0, 2π, 4π… (diferencia de camino 0, λ, 2λ…) → I = 4I₀ (brillo).
- Interferencia destructiva: φ = π, 3π… (diferencia de camino λ/2, 3λ/2…) → I = 0 (oscuridad).
Para que el patrón sea estable, las fuentes deben ser coherentes: misma frecuencia y una diferencia de fase constante. Dos bombillas distintas no son coherentes: sus fases cambian al azar millones de veces por segundo, así que las franjas se mueven demasiado rápido para verlas y la pantalla se ve iluminada por igual (I = I₁ + I₂). Por eso Young dividió la luz de una sola fuente en dos rendijas. Un láser da luz muy coherente.
El experimento de la doble rendija de Young
Thomas Young (1801) hizo que la luz de una rendija estrecha cayera sobre dos rendijas paralelas muy próximas, S₁ y S₂ (separadas una distancia d). Puso una pantalla a una distancia D (D ≫ d). Vio bandas brillantes y oscuras igualmente espaciadas, llamadas franjas.
Diferencia de camino
Para un punto P a una altura y sobre el centro O, la distancia extra desde S₂ es Δ = S₂P − S₁P ≈ yd/D.
Franjas brillantes
Δ = nλ → yₙ = nλD/d (n = 0, 1, 2…). El centro O (n = 0) siempre es brillante.
Franjas oscuras
Δ = (n + ½)λ → yₙ = (n + ½)λD/d.
Interfranja (ancho de franja)
La distancia entre dos franjas brillantes (u oscuras) vecinas es
β = λD/d
Todas las franjas tienen el mismo ancho. El ancho angular es θ = λ/d.
¿Qué cambia las franjas?
- Una λ mayor (rojo) → franjas más anchas; la luz azul da franjas más estrechas.
- Pantalla más lejos (D mayor) → franjas más anchas.
- Rendijas más juntas (d menor) → franjas más anchas.
- Todo el montaje dentro del agua → λ pasa a ser λ/n, así que β pasa a ser β/n.
- Luz blanca → la franja central es blanca, las demás son de colores (violeta en el borde interior, rojo en el exterior) y solo se ven unas pocas franjas.
- No se pierde energía: solo se traslada de los lugares oscuros a los lugares brillantes.
Difracción por una rendija
La difracción es la desviación y el ensanchamiento de la luz alrededor del borde de una abertura pequeña o de un obstáculo. Se nota cuando la abertura no es mucho mayor que la longitud de onda.
Ilumina una sola rendija estrecha de ancho a. Imagina la rendija como muchas fuentes diminutas de Huygens puestas una junto a otra. Justo de frente, todas llegan en fase: el máximo central es brillante.
Primera banda oscura
En el ángulo donde la diferencia de camino entre el borde de arriba y el de abajo es λ, divide la rendija en dos mitades: cada punto de la mitad de arriba se anula con un compañero de la mitad de abajo. Así, el primer mínimo está en a sen θ = λ, o θ ≈ λ/a. Mínimos: a sen θ = nλ.
Ancho del máximo central
Va de −λ/a a +λ/a, así que el ancho angular es 2λ/a y en la pantalla
ancho del máximo central = 2λD/a
Es el doble de ancho que cada banda lateral, y los máximos laterales (cerca de a sen θ ≈ (n + ½)λ) son mucho más débiles. Una rendija más estrecha da una banda central más ancha.
Interferencia frente a difracción
| Interferencia | Difracción (una rendija) |
|---|---|
| Se superponen ondas de dos fuentes coherentes | Se superponen ondículas de distintas partes de una sola rendija |
| Todas las franjas tienen el mismo ancho | El máximo central es el doble de ancho que los demás |
| Todas las franjas brillantes tienen casi el mismo brillo | El brillo cae rápido al alejarse del centro |
| Las franjas oscuras son totalmente oscuras | Los mínimos son oscuros, los máximos laterales son débiles |
En una doble rendija real ocurren las dos cosas: las franjas de interferencia están dentro del ancho patrón de difracción de cada rendija.
Pruébalo: mira la difracción con tus dedos
Junta dos dedos muy cerca delante de un ojo, dejando un hueco fino como un pelo, y mira un tubo fluorescente brillante a través de él. Verás finas líneas oscuras a lo largo del hueco: es un patrón de difracción. Aprieta más el hueco: el patrón se ensancha (a menor, 2λD/a mayor). En el 3D, predice qué pasa con β si duplicas d y luego mueve el control deslizante para comprobarlo.
Fórmulas y definiciones clave
- I = 4I₀ cos²(φ/2); φ = (2π/λ) × diferencia de camino
- Diferencia de camino Δ = yd/D
- Brillo: Δ = nλ, yₙ = nλD/d
- Oscuridad: Δ = (n + ½)λ, yₙ = (n + ½)λD/d
- Interfranja β = λD/d; ancho angular = λ/d
- Mínimos de una rendija: a sen θ = nλ
- Ancho del máximo central = 2λD/a (angular 2λ/a)
Ejemplos resueltos
1. En el experimento de Young, λ = 600 nm, d = 0.5 mm, D = 1 m. Calcula la interfranja.
Paso 1: β = λD/d. Paso 2: = 600 × 10⁻⁹ × 1 / 0.5 × 10⁻³. Paso 3: β = 1.2 × 10⁻³ m = 1.2 mm.
2. Con el mismo montaje (β = 1.2 mm), calcula la distancia al centro de la 3.ª franja brillante y de la 2.ª franja oscura.
Paso 1: 3.ª brillante: y = 3β = 3.6 mm. Paso 2: 2.ª oscura (n = 1): y = (1 + ½)β = 1.5 × 1.2 = 1.8 mm.
3. La interfranja es 2 mm con D = 1.2 m y d = 0.3 mm. Calcula la longitud de onda.
Paso 1: λ = βd/D. Paso 2: = 2 × 10⁻³ × 0.3 × 10⁻³ / 1.2. Paso 3: λ = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm.
4. ¿Qué le pasa a β = 1.2 mm si (a) se duplica D, (b) se duplica d, (c) se pone el aparato en agua (n = 4/3)?
Paso 1: β ∝ D, así que (a) β = 2.4 mm. Paso 2: β ∝ 1/d, así que (b) β = 0.6 mm. Paso 3: λ pasa a ser λ/n, así que (c) β = 1.2 × 3/4 = 0.9 mm.
5. En un punto P de la pantalla, la diferencia de camino es 1800 nm para luz de λ = 600 nm. ¿P es brillante u oscuro? ¿Y si λ = 720 nm?
Paso 1: 1800/600 = 3, un número entero → brillante (3.ª franja brillante). Paso 2: 1800/720 = 2.5 → un número y medio → oscuro.
6. Dos ondas coherentes, cada una de intensidad I₀, se encuentran con una diferencia de fase π/2. Calcula la intensidad resultante.
Paso 1: I = 4I₀ cos²(φ/2). Paso 2: = 4I₀ cos²(45°) = 4I₀ × ½. Paso 3: I = 2I₀.
7. Luz de λ = 500 nm cae sobre una rendija de ancho 0.2 mm. La pantalla está a 2 m. Calcula el ancho del máximo central.
Paso 1: ancho = 2λD/a. Paso 2: = 2 × 500 × 10⁻⁹ × 2 / 0.2 × 10⁻³. Paso 3: = 1 × 10⁻² m = 10 mm.
8. En un experimento de una rendija, el primer mínimo para luz roja (660 nm) está a 30°. Calcula el ancho de la rendija.
Paso 1: a sen θ = λ. Paso 2: a = 660 nm / sen 30° = 660/0.5. Paso 3: a = 1320 nm = 1.32 μm.
9. Se usan juntas dos longitudes de onda, 650 nm y 520 nm, en una doble rendija (d = 2 mm, D = 1.2 m). Calcula la menor distancia al centro donde coinciden sus franjas brillantes.
Paso 1: n₁ × 650 = n₂ × 520 → n₁/n₂ = 4/5. Paso 2: y mínima = 4 × 650 × 10⁻⁹ × 1.2 / 2 × 10⁻³. Paso 3: y = 1.56 × 10⁻³ m = 1.56 mm.
Errores comunes
- Escribir β = λd/D. La fórmula correcta es β = λD/d (D arriba, d abajo).
- Olvidar la conversión de unidades: d en mm y λ en nm hay que pasarlas a metros.
- Decir que el máximo central de una rendija tiene ancho λD/a. Es 2λD/a.
- Creer que dos linternas distintas pueden dar franjas estables. No son coherentes.