Superposição e fontes coerentes
Quando duas ondas se encontram, a perturbação total em um ponto é a soma das duas: é o princípio da superposição. Se duas ondas de luz de amplitude a se encontram com diferença de fase φ, a intensidade resultante é I = 4I₀ cos²(φ/2).
- Interferência construtiva: φ = 0, 2π, 4π… (diferença de percurso 0, λ, 2λ…) → I = 4I₀ (claro).
- Interferência destrutiva: φ = π, 3π… (diferença de percurso λ/2, 3λ/2…) → I = 0 (escuro).
Para um padrão estável, as fontes precisam ser coerentes: mesma frequência e diferença de fase constante. Duas lâmpadas separadas não são coerentes — suas fases mudam ao acaso milhões de vezes por segundo, então as franjas se movem rápido demais para ver e o anteparo parece iluminado por igual (I = I₁ + I₂). Por isso Young dividiu a luz de uma fonte em duas fendas. Um laser dá luz altamente coerente.
O experimento da fenda dupla de Young
Thomas Young (1801) fez a luz de uma única fenda estreita chegar a duas fendas paralelas e próximas, S₁ e S₂ (distância d entre elas). Um anteparo foi colocado a uma distância D (D ≫ d). Ele viu faixas claras e escuras igualmente espaçadas, chamadas franjas.
Diferença de percurso
Para um ponto P à altura y acima do centro O, a distância extra a partir de S₂ é Δ = S₂P − S₁P ≈ yd/D.
Franjas claras
Δ = nλ → yₙ = nλD/d (n = 0, 1, 2…). O centro O (n = 0) é sempre claro.
Franjas escuras
Δ = (n + ½)λ → yₙ = (n + ½)λD/d.
Largura da franja
A distância entre duas franjas claras (ou escuras) vizinhas é
β = λD/d
Todas as franjas têm a mesma largura. A largura angular da franja é θ = λ/d.
O que muda as franjas?
- λ maior (vermelho) → franjas mais largas; luz azul dá franjas mais estreitas.
- Anteparo mais longe (D maior) → franjas mais largas.
- Fendas mais próximas (d menor) → franjas mais largas.
- Montagem toda dentro da água → λ vira λ/n, então β vira β/n.
- Luz branca → franja central branca, as outras coloridas (violeta na borda interna, vermelho na externa), e só poucas franjas aparecem.
- A energia não se perde: ela só é levada dos lugares escuros para os claros.
Difração em fenda simples
Difração é o desvio e o espalhamento da luz ao redor da borda de uma abertura pequena ou de um obstáculo. Ela é notada quando a abertura não é muito maior que o comprimento de onda.
Ilumine uma fenda estreita de largura a. Pense na fenda como muitas fontezinhas de Huygens lado a lado. Bem à frente, todas chegam em fase: o máximo central é brilhante.
Primeira faixa escura
Num ângulo em que a diferença de percurso entre a borda de cima e a de baixo é λ, divida a fenda em duas metades: cada ponto da metade de cima anula um parceiro da metade de baixo. Então o primeiro mínimo fica em a sen θ = λ, ou θ ≈ λ/a. Mínimos: a sen θ = nλ.
Largura do máximo central
De −λ/a até +λ/a, então a largura angular é 2λ/a e, no anteparo,
largura do máximo central = 2λD/a
Ele é duas vezes mais largo que cada faixa lateral, e os máximos laterais (perto de a sen θ ≈ (n + ½)λ) são bem mais fracos. Uma fenda mais estreita dá uma faixa central mais larga.
Interferência x difração
| Interferência | Difração (fenda simples) |
|---|---|
| Ondas de duas fontes coerentes se sobrepõem | Ondas secundárias de partes diferentes de uma fenda se sobrepõem |
| Todas as franjas têm a mesma largura | O máximo central é duas vezes mais largo que os outros |
| Todas as franjas claras têm brilho parecido | O brilho cai rápido longe do centro |
| As franjas escuras são totalmente escuras | Os mínimos são escuros, os máximos laterais são fracos |
Numa fenda dupla real, os dois efeitos acontecem: as franjas de interferência ficam dentro do padrão largo de difração de cada fenda.
Experimente: veja a difração com os dedos
Segure dois dedos bem juntos diante de um olho, deixando uma abertura fina como um fio de cabelo, e olhe por ela para uma lâmpada fluorescente acesa. Você verá linhas escuras finas ao longo da abertura — um padrão de difração. Aperte mais os dedos: o padrão se alarga (a menor, 2λD/a maior). No 3D, preveja o que acontece com β se você dobrar d, depois mexa no controle para conferir.
Fórmulas e definições principais
- I = 4I₀ cos²(φ/2); φ = (2π/λ) × diferença de percurso
- Diferença de percurso Δ = yd/D
- Claro: Δ = nλ, yₙ = nλD/d
- Escuro: Δ = (n + ½)λ, yₙ = (n + ½)λD/d
- Largura da franja β = λD/d; largura angular = λ/d
- Mínimos da fenda simples: a sen θ = nλ
- Largura do máximo central = 2λD/a (angular 2λ/a)
Exemplos resolvidos
1. No experimento de Young, λ = 600 nm, d = 0,5 mm, D = 1 m. Encontre a largura da franja.
Passo 1: β = λD/d. Passo 2: = 600 × 10⁻⁹ × 1 / 0.5 × 10⁻³. Passo 3: β = 1.2 × 10⁻³ m = 1.2 mm.
2. Com a mesma montagem (β = 1.2 mm), encontre a distância da 3ª franja clara e da 2ª franja escura até o centro.
Passo 1: 3ª clara: y = 3β = 3.6 mm. Passo 2: 2ª escura (n = 1): y = (1 + ½)β = 1.5 × 1.2 = 1.8 mm.
3. A largura da franja é 2 mm com D = 1.2 m e d = 0.3 mm. Encontre o comprimento de onda.
Passo 1: λ = βd/D. Passo 2: = 2 × 10⁻³ × 0.3 × 10⁻³ / 1.2. Passo 3: λ = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm.
4. O que acontece com β = 1.2 mm se (a) D for dobrado, (b) d for dobrado, (c) o aparelho for colocado na água (n = 4/3)?
Passo 1: β ∝ D, então (a) β = 2.4 mm. Passo 2: β ∝ 1/d, então (b) β = 0.6 mm. Passo 3: λ vira λ/n, então (c) β = 1.2 × 3/4 = 0.9 mm.
5. Num ponto P do anteparo, a diferença de percurso é 1800 nm para luz de λ = 600 nm. P é claro ou escuro? E se λ = 720 nm?
Passo 1: 1800/600 = 3, número inteiro → claro (3ª franja clara). Passo 2: 1800/720 = 2.5 → meio número → escuro.
6. Duas ondas coerentes, cada uma de intensidade I₀, se encontram com diferença de fase π/2. Encontre a intensidade resultante.
Passo 1: I = 4I₀ cos²(φ/2). Passo 2: = 4I₀ cos²(45°) = 4I₀ × ½. Passo 3: I = 2I₀.
7. Luz de λ = 500 nm incide numa fenda simples de largura 0,2 mm. O anteparo está a 2 m. Encontre a largura do máximo central.
Passo 1: largura = 2λD/a. Passo 2: = 2 × 500 × 10⁻⁹ × 2 / 0.2 × 10⁻³. Passo 3: = 1 × 10⁻² m = 10 mm.
8. Num experimento de fenda simples, o primeiro mínimo para luz vermelha (660 nm) está a 30°. Encontre a largura da fenda.
Passo 1: a sen θ = λ. Passo 2: a = 660 nm / sen 30° = 660/0.5. Passo 3: a = 1320 nm = 1.32 μm.
9. Dois comprimentos de onda, 650 nm e 520 nm, são usados juntos numa fenda dupla (d = 2 mm, D = 1.2 m). Encontre a menor distância do centro onde suas franjas claras coincidem.
Passo 1: n₁ × 650 = n₂ × 520 → n₁/n₂ = 4/5. Passo 2: menor y = 4 × 650 × 10⁻⁹ × 1.2 / 2 × 10⁻³. Passo 3: y = 1.56 × 10⁻³ m = 1.56 mm.
Erros comuns
- Escrever β = λd/D. A fórmula correta é β = λD/d (D em cima, d embaixo).
- Esquecer a conversão de unidades: d em mm e λ em nm devem virar metros.
- Dizer que o máximo central da fenda simples tem largura λD/a. Ele tem 2λD/a.
- Achar que duas lanternas separadas formam franjas estáveis. Elas não são coerentes.