内能
每种气体都由不停运动的微小分子组成。内能 U 是所有这些分子的总能量（包括运动的能量，在真实气体中还包括分子之间相互吸引的能量）。它不包括整个容器移动的能量。
对理想气体来说，U 只和温度有关。气体越热 → 分子越快 → U 越大。
U 是状态量：它只取决于现在的状态，和过去怎么来的无关。
热量和功：改变 U 的两种方式
热量（Q）是由于温度不同而在系统和外界之间流动的能量。火焰可以加热气体。
功（W）是力使物体移动一段距离所转移的能量，不需要温度差。用手把活塞压进去，气体也会变热。
热量和功不是物体里“储存”的东西，它们是正在传递中的能量。物体有内能，但并不“拥有”热量或功。所以 Q 和 W 不是状态量：它们取决于过程的路径。
焦耳证明，固定数量的功总能产生和固定数量的热相同的升温效果。所以热量只是能量的一种形式，单位是焦耳（1 cal = 4.186 J）。
热力学第一定律
第一定律就是关于热和功的能量守恒定律：
ΔQ = ΔU + ΔW
- ΔQ = 传给系统的热量
- ΔU = 系统内能的增加量
- ΔW = 系统对外界所做的功
正负号规则（物理教材常用）
- 系统吸热：Q 为正。系统放热：Q 为负。
- 气体对外做功（膨胀）：W 为正。外界对气体做功（压缩）：W 为负。
- 温度升高：ΔU 为正。
（有些化学书写成 ΔU = q + w，其中 w 是外界对气体做的功。这是同一条定律，只是 W 的正负号取法不同。）
特殊情况：在一个循环中 ΔU = 0，所以 Q = W。如果没有热量进入（绝热），ΔU = −W。
气体做的功：W = PΔV
设压强为 P 的气体把面积为 A 的活塞推动一小段距离 Δx。力 = PA，所以功 = PA × Δx。而 A × Δx 就是体积的增加量 ΔV。因此
W = P ΔV（P 保持不变时）
如果 P 在变化，W 等于 P–V 曲线下方的面积。膨胀（ΔV > 0）→ 气体做正功。压缩 → 做负功。
气体的比热和 Cp − Cv = R
摩尔比热 = 使 1 mol 物质升高 1 K 所需的热量。对气体来说，它取决于我们怎样加热。
- Cv（体积不变）：不做功，所以热量全部用来增加 U：ΔQ = ΔU = nCvΔT。
- Cp（压强不变）：气体还要膨胀并做功，所以需要更多热量：ΔQ = nCpΔT。
Cp − Cv = R 的推导（迈耶关系）
在压强不变时给 1 mol 气体加热，升温 ΔT。第一定律：CpΔT = ΔU + PΔV。
ΔU 和体积不变时相同（U 只与 T 有关）：ΔU = CvΔT。
压强 P 不变时由 PV = RT 得：PΔV = RΔT。
所以 CpΔT = CvΔT + RΔT，得到 Cp − Cv = R。
考试提示：这个推导（2–3 分）和关于 ΔQ = ΔU + ΔW 的计算题几乎每年都会考。
在家试一试
快速搓手 10 秒，手心会发热。你做了功，它变成了内能。再给自行车轮胎打十下气，摸一摸气筒底部：又热了。对空气做功会增加它的 U，和加热的效果一样。
重点公式和概念
- ΔQ = ΔU + ΔW（第一定律）
- W = PΔV（压强不变）
- W = P–V 曲线下的面积
- ΔU = nCvΔT（理想气体，任何过程）
- ΔQ = nCpΔT（压强不变）
- Cp − Cv = R
- 1 cal = 4.186 J
例题讲解
1. 一定量气体吸收 500 J 的热量，并对外做功 200 J。求内能的变化。
ΔU = ΔQ − ΔW = 500 − 200 = 300 J。内能增加 300 J。
2. 外界对气体做功 800 J，气体放出 300 J 的热量。求 ΔU。
外界对气体做功：ΔW = −800 J。放出热量：ΔQ = −300 J。ΔU = ΔQ − ΔW = −300 − (−800) = +500 J。
3. 气体在 2 × 10⁵ Pa 的恒定压强下，体积从 1 L 膨胀到 4 L。求它做的功。
ΔV = 3 L = 3 × 10⁻³ m³。W = PΔV = 2 × 10⁵ × 3 × 10⁻³ = 600 J。
4. 在上面的例子中，气体还吸收了 1500 J 的热量。它的内能变化了多少？
ΔU = ΔQ − ΔW = 1500 − 600 = 900 J。
5. 2 mol 理想气体在体积不变的条件下从 300 K 加热到 350 K。Cv = 20.8 J mol⁻¹ K⁻¹。求供给的热量。
体积不变时 W = 0，所以 ΔQ = ΔU = nCvΔT = 2 × 20.8 × 50 = 2080 J。
6. 同样的 2 mol 气体在压强不变的条件下从 300 K 加热到 350 K。求所需热量和做的功（R = 8.3）。
Cp = Cv + R = 29.1 J mol⁻¹ K⁻¹。ΔQ = nCpΔT = 2 × 29.1 × 50 = 2910 J。ΔU = 2080 J（和前面一样）。W = ΔQ − ΔU = 830 J。检验：nRΔT = 2 × 8.3 × 50 = 830 J。✓
7. 气体经历一个完整循环后回到起始状态，总共吸收 1200 J 的热量。它对外做的净功是多少？
在一个循环中 ΔU = 0（U 是状态量）。所以 ΔW = ΔQ = 1200 J。
常见错误
- 混淆正负号：在物理教材中 W 表示气体对外做的功。外界对气体做功时 W 为负。
- 以为气体“含有热量”。气体含有的是内能，热量是正在流动的能量。
- 使用 W = PΔV 之前忘了把升换成立方米（1 L = 10⁻³ m³）。
- 用 ΔU = nCpΔT。对理想气体，在任何过程中都是 ΔU = nCvΔT；Cp 只用于压强不变时的吸热。