Innere Energie
Jedes Gas besteht aus winzigen Teilchen, die sich ständig bewegen. Die innere Energie U ist die gesamte Energie aller dieser Teilchen (Bewegungsenergie und, bei echten Gasen, die Energie ihrer gegenseitigen Anziehung). Die Bewegung des ganzen Behälters gehört nicht dazu.
Bei einem idealen Gas hängt U nur von der Temperatur ab. Heißeres Gas → schnellere Teilchen → größeres U.
U ist eine Zustandsgröße: Sie hängt nur vom jetzigen Zustand ab, nicht von der Vorgeschichte.
Wärme und Arbeit: zwei Wege, U zu ändern
Wärme (Q) ist Energie, die wegen eines Temperaturunterschieds zwischen System und Umgebung fließt. Eine Flamme erwärmt das Gas.
Arbeit (W) ist Energie, die eine Kraft über eine Strecke überträgt, ohne dass ein Temperaturunterschied nötig ist. Ein Kolben, den deine Hand hineindrückt, erwärmt das Gas.
Wärme und Arbeit sind nicht in einem Körper "gespeichert". Sie sind Energie auf dem Weg. Ein Körper hat innere Energie; er "hat" nicht Wärme oder Arbeit. Darum sind Q und W keine Zustandsgrößen: Sie hängen vom Weg ab.
Joule zeigte, dass eine bestimmte Menge Arbeit immer dieselbe Erwärmung bewirkt wie eine bestimmte Menge Wärme. Wärme ist also nur eine Form von Energie und wird in Joule gemessen (1 cal = 4,186 J).
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik
Der erste Hauptsatz ist der Energieerhaltungssatz für Wärme und Arbeit:
ΔQ = ΔU + ΔW
- ΔQ = Wärme, die dem System zugeführt wird
- ΔU = Anstieg der inneren Energie des Systems
- ΔW = Arbeit, die das System an der Umgebung verrichtet
Vorzeichenregeln (wie in der Physik üblich)
- Wärme, die dem System zugeführt wird: Q positiv. Abgegebene Wärme: Q negativ.
- Arbeit, die das Gas verrichtet (Expansion): W positiv. Arbeit, die am Gas verrichtet wird (Kompression): W negativ.
- Die Temperatur steigt: ΔU positiv.
(Manche Chemiebücher schreiben ΔU = q + w, wobei w die Arbeit am Gas ist. Es ist derselbe Satz mit umgekehrtem Vorzeichen für W.)
Sonderfälle: Bei einem Kreisprozess ist ΔU = 0, also Q = W. Wenn keine Wärme zugeführt wird (isoliert), gilt ΔU = −W.
Arbeit eines Gases: W = PΔV
Ein Gas mit dem Druck P schiebe einen Kolben mit der Fläche A um eine kleine Strecke Δx. Die Kraft ist PA, also ist die Arbeit PA × Δx. Aber A × Δx ist die Volumenzunahme ΔV. Also gilt
W = P ΔV (wenn P konstant bleibt)
Ändert sich P, so ist W die Fläche unter der P–V-Kurve. Expansion (ΔV > 0) → das Gas verrichtet positive Arbeit. Kompression → negative Arbeit.
Spezifische Wärmekapazitäten eines Gases und Cp − Cv = R
Die molare Wärmekapazität ist die Wärme, die man braucht, um 1 mol um 1 K zu erwärmen. Bei einem Gas hängt sie davon ab, wie wir erwärmen.
- Cv (konstantes Volumen): Es wird keine Arbeit verrichtet, also erhöht die ganze Wärme U: ΔQ = ΔU = nCvΔT.
- Cp (konstanter Druck): Das Gas dehnt sich auch aus und verrichtet Arbeit, also braucht man mehr Wärme: ΔQ = nCpΔT.
Herleitung von Cp − Cv = R (Mayer-Beziehung)
Wir erwärmen 1 mol bei konstantem Druck um ΔT. Erster Hauptsatz: CpΔT = ΔU + PΔV.
ΔU ist dasselbe wie bei konstantem Volumen (U hängt nur von T ab): ΔU = CvΔT.
Aus PV = RT bei konstantem P folgt: PΔV = RΔT.
Also CpΔT = CvΔT + RΔT, und das ergibt Cp − Cv = R.
Prüfungstipp: Diese Herleitung (2–3 Punkte) und Rechenaufgaben zu ΔQ = ΔU + ΔW kommen fast jedes Jahr dran.
Zum Ausprobieren zu Hause
Reibe deine Handflächen 10 Sekunden lang schnell aneinander. Sie fühlen sich warm an. Du hast Arbeit verrichtet, und sie wurde zu innerer Energie. Pumpe nun zehnmal einen Fahrradreifen auf und fasse den Boden der Pumpe an: wieder warm. Arbeit an der Luft erhöht ihr U, genau wie Wärme.
Wichtige Formeln und Definitionen
- ΔQ = ΔU + ΔW (erster Hauptsatz)
- W = PΔV (konstanter Druck)
- W = Fläche unter der P–V-Kurve
- ΔU = nCvΔT (ideales Gas, jeder Prozess)
- ΔQ = nCpΔT (konstanter Druck)
- Cp − Cv = R
- 1 cal = 4.186 J
Gelöste Beispiele
1. Ein Gas nimmt 500 J Wärme auf und verrichtet 200 J Arbeit. Bestimme die Änderung der inneren Energie.
ΔU = ΔQ − ΔW = 500 − 200 = 300 J. Die innere Energie steigt um 300 J.
2. An einem Gas werden 800 J Arbeit verrichtet, und es gibt 300 J Wärme ab. Bestimme ΔU.
Arbeit am Gas: ΔW = −800 J. Abgegebene Wärme: ΔQ = −300 J. ΔU = ΔQ − ΔW = −300 − (−800) = +500 J.
3. Ein Gas dehnt sich bei konstantem Druck von 2 × 10⁵ Pa von 1 L auf 4 L aus. Bestimme die Arbeit, die es verrichtet.
ΔV = 3 L = 3 × 10⁻³ m³. W = PΔV = 2 × 10⁵ × 3 × 10⁻³ = 600 J.
4. Im Beispiel oben nahm das Gas außerdem 1500 J Wärme auf. Wie stark änderte sich seine innere Energie?
ΔU = ΔQ − ΔW = 1500 − 600 = 900 J.
5. 2 mol eines idealen Gases werden bei konstantem Volumen von 300 K auf 350 K erwärmt. Cv = 20.8 J mol⁻¹ K⁻¹. Bestimme die zugeführte Wärme.
Bei konstantem Volumen ist W = 0, also ΔQ = ΔU = nCvΔT = 2 × 20.8 × 50 = 2080 J.
6. Dieselben 2 mol werden bei konstantem Druck von 300 K auf 350 K erwärmt. Bestimme die nötige Wärme und die verrichtete Arbeit (R = 8.3).
Cp = Cv + R = 29.1 J mol⁻¹ K⁻¹. ΔQ = nCpΔT = 2 × 29.1 × 50 = 2910 J. ΔU = 2080 J (wie vorher). W = ΔQ − ΔU = 830 J. Kontrolle: nRΔT = 2 × 8.3 × 50 = 830 J. ✓
7. Ein Gas durchläuft einen vollen Kreisprozess und kehrt in den Anfangszustand zurück. Insgesamt nimmt es 1200 J auf. Wie viel Nettoarbeit verrichtet es?
Im Kreisprozess ist ΔU = 0 (U ist eine Zustandsgröße). Also ist ΔW = ΔQ = 1200 J.
Häufige Fehler
- Vorzeichenregeln vermischen: In der Physik ist W die Arbeit, die das Gas verrichtet. Arbeit, die am Gas verrichtet wird, ist negativ.
- Denken, ein Gas "enthalte Wärme". Es enthält innere Energie; Wärme ist Energie auf dem Weg.
- Vergessen, Liter vor der Rechnung mit W = PΔV in m³ umzurechnen (1 L = 10⁻³ m³).
- ΔU = nCpΔT benutzen. Für ein ideales Gas gilt in jedem Prozess ΔU = nCvΔT; Cp gilt nur für Wärme bei konstantem Druck.