समलंब चतुर्भुज क्या है?
समलंब चतुर्भुज चार सीधी भुजाओं की आकृति है जिसमें एक जोड़ी भुजाएँ समानांतर होती हैं। समानांतर भुजाएँ आधार कहलाती हैं। बाकी दो भुजाएँ पाद हैं। दोनों आधारों के बीच की सीधी दूरी ऊँचाई है।
अमेरिका में इस आकृति को trapezoid कहते हैं। भारत और ब्रिटेन की किताबों में trapezium नाम चलता है।
एक पाद के दोनों कोणों का योग हमेशा 180° होता है। जैसे पाद के नीचे का कोण 70° हो तो उसी पाद के ऊपर का कोण 110° होगा। कारण: आधार समानांतर हैं, इसलिए पाद के एक ही तरफ़ के कोण अंतः कोण (co-interior angles) हैं।
समद्विबाहु समलंब
समद्विबाहु समलंब में दोनों पाद बराबर होते हैं। इससे कई बातें निकलती हैं:
- एक ही आधार के दोनों कोण बराबर होते हैं।
- दोनों विकर्ण बराबर लंबाई के होते हैं।
- दोनों आधारों के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा पर आकृति शीशे जैसी सममित होती है।
ऊपर का हर कोण = 180° − आधार का कोण। आधार के कोण 65° हों तो ऊपर के कोण 115° होंगे।
समकोण समलंब
समकोण समलंब में एक पाद आधारों पर लंबवत होता है। वही पाद ऊँचाई भी है। दो कोने 90° के होते हैं। दूसरा पाद तिरछा होता है, और उसकी लंबाई पाइथागोरस प्रमेय से मिलती है: तिरछा पाद उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी भुजाएँ ऊँचाई और दोनों आधारों का अंतर हैं।
समलंब की मध्य रेखा
मध्य रेखा दोनों पादों के मध्य-बिंदुओं को जोड़ती है। इसके दो मुख्य गुण हैं:
- यह दोनों आधारों के समानांतर होती है।
- इसकी लंबाई आधारों के योग की आधी होती है: m = (a + b) ÷ 2।
यानी मध्य रेखा दोनों आधारों का औसत है। आधार 8 और 4 हों तो मध्य रेखा 6 होगी। मध्य रेखा से क्षेत्रफल भी मिलता है: क्षेत्रफल = मध्य रेखा × ऊँचाई।
करके देखिए
काग़ज़ से समलंब काटिए। एक पाद के दोनों सिरे मिलाकर मोड़िए और निशान से उसका मध्य-बिंदु पाइए। दूसरे पाद के साथ भी यही कीजिए और मध्य रेखा खींचिए। स्केल से आधार और मध्य रेखा नापिए। क्या मध्य रेखा ठीक दोनों आधारों का औसत है?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- मध्य रेखा m = (a + b) ÷ 2
- क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h = m × h
- एक पाद के कोण: A + D = 180°
- समद्विबाहु समलंब: आधार के कोण, पाद और विकर्ण बराबर
- समकोण समलंब का तिरछा पाद = √(h² + (a − b)²)
हल किए गए उदाहरण
1. एक समलंब के आधार 8 cm और 4 cm हैं। मध्य रेखा ज्ञात कीजिए।
m = (8 + 4) ÷ 2 = 6 cm।
2. एक समलंब की मध्य रेखा 9 cm है और एक आधार 12 cm है। दूसरा आधार ज्ञात कीजिए।
a + b = 2 × 9 = 18, इसलिए दूसरा आधार = 18 − 12 = 6 cm।
3. एक समलंब में एक पाद के नीचे का कोण 70° है। उसी पाद के ऊपर का कोण ज्ञात कीजिए।
एक पाद के दोनों कोणों का योग 180° होता है, इसलिए कोण = 180° − 70° = 110°।
4. एक समद्विबाहु समलंब के आधार-कोण 65° हैं। चारों कोण ज्ञात कीजिए।
दो आधार-कोण 65° हैं। ऊपर के कोण 180° − 65° = 115° प्रत्येक। जाँच: 65 + 65 + 115 + 115 = 360°।
5. एक समकोण समलंब के आधार 9 cm और 5 cm हैं और ऊँचाई 3 cm है। तिरछा पाद और परिमाप ज्ञात कीजिए।
आधारों का अंतर = 4 cm। तिरछा पाद = √(3² + 4²) = 5 cm। परिमाप = 9 + 5 + 3 + 5 = 22 cm।
6. एक समलंब की मध्य रेखा 14 cm है। आधारों का अनुपात 3 : 4 है। आधार ज्ञात कीजिए।
a + b = 28। आधार 3k और 4k हों तो 7k = 28 और k = 4। आधार 12 cm और 16 cm हैं।
आम गलतियाँ
- मध्य रेखा को किसी एक आधार के बराबर मान लेना। वह दोनों आधारों का औसत है।
- मध्य रेखा निकालते समय 2 से भाग देना भूल जाना: (a + b) ÷ 2, केवल a + b नहीं।
- यह मान लेना कि दोनों जोड़ी भुजाएँ समानांतर होनी चाहिए। वह तो समांतर चतुर्भुज होता है। समलंब में सिर्फ़ एक जोड़ी चाहिए।
- तिरछे पाद को ऊँचाई समझ लेना। ऊँचाई आधारों के बीच की सीधी (90°) दूरी है।