什么是模拟信号处理？
模拟信号是可以取任何数值、并且平滑变化的电压，例如麦克风输出的电压。处理就是把它变成更有用的样子：选出某些频率（滤波），或者把它变大（放大）。
两个关键工具：LC谐振滤波器和运算放大器。
LC谐振滤波器
把电感（线圈，L）和电容（C）连在一起，就组成LC电路。能量来回移动：电容里的电场 → 线圈里的磁场 → 再回到电容。这叫振荡。
它自然振荡的频率叫谐振频率：
f₀ = 1 / (2π√(LC))
如果有很多种频率的信号输入，只有接近 f₀ 的信号才能得到很大的输出。所以它是一个带通滤波器（调谐器）。
能量损失和阻尼
导线的电阻每个周期都会把一部分能量变成热。振荡会慢慢减弱（阻尼）。电阻越大，峰越平、越宽。
品质因数Q和带宽
带宽 Δf 是峰的宽度，在这个范围内输出电压至少是最大值的 1/√2 ≈ 0.707（半功率点）。品质因数是 Q = f₀ / Δf。Q 高表示峰又尖又窄：滤波器的选择性很强。
理想运算放大器
运放是一块有两个输入端的芯片：同相输入端（V₊）和反相输入端（V₋）。输出是
Vout = A₀ (V₊ − V₋)
其中 A₀ 是开环增益（没有反馈时的增益）。
理想运放的特点
- 开环增益 A₀ 无穷大
- 输入电阻无穷大（没有电流流进输入端）
- 输出电阻为零（接上负载输出电压也不下降）
- 带宽无穷大，转换速率也无穷大
- 当 V₊ = V₋ 时输出为 0
运放当比较器用
没有反馈时，再小的差值也会被放大很多倍，输出就跳到正电源或负电源电压（这叫饱和）。如果 V₊ > V₋，输出是 +Vs；如果 V₊ < V₋，输出是 −Vs。这样就能比较两个电压，例如用光敏传感器控制路灯开关。
试一试：在秋千上感受谐振
推秋千上的小朋友。如果你按秋千自己的节奏推，它会越荡越高；如果乱推，它几乎不动。这就是谐振。在3D里，先设 L = 5、C = 5，再设 L = 20、C = 20，看看 f₀ 怎样下降。
重点公式和概念
- f₀ = 1 / (2π√(LC))
- Q = f₀ / Δf
- Vout = A₀(V₊ − V₋)
- 储存的能量：E = ½CV² = ½LI²
例题讲解
1. 当 L = 10 mH，C = 10 nF 时，求 f₀。
LC = 0.010 × 10×10⁻⁹ = 1×10⁻¹⁰。√LC = 1×10⁻⁵。f₀ = 1/(2π × 10⁻⁵) ≈ 15 900 Hz ≈ 15.9 kHz。
2. 一个调谐器的 f₀ = 1.0 MHz，带宽为 20 kHz。求 Q。
Q = f₀/Δf = 1 000 000 / 20 000 = 50。
3. 需要 f₀ = 1.0 kHz，C = 100 nF。需要多大的 L？
L = 1/(4π²f₀²C) = 1/(4π² × 10⁶ × 10⁻⁷) = 1/3.95 ≈ 0.25 H。
4. 一个运放比较器的电源是 ±12 V，A₀ = 10⁵。V₊ = 2.001 V，V₋ = 2.000 V。求 Vout。
A₀(V₊ − V₋) = 10⁵ × 0.001 = 100 V。这比 12 V 大，所以输出饱和在 +12 V。
5. 如果 C 变成原来的 4 倍，f₀ 会怎样变化？
f₀ ∝ 1/√C，所以 f₀ 变成原来的 1/√4 = 1/2。
6. 一个运放的 A₀ = 2×10⁵，输出为 6 V（没有饱和）。V₊ − V₋ 是多少？
V₊ − V₋ = Vout/A₀ = 6 / (2×10⁵) = 3×10⁻⁵ V = 30 μV。几乎为零，所以我们说 V₊ ≈ V₋。
常见错误
- 忘记根号：f₀ = 1/(2π√LC)，不是 1/(2πLC)。
- 代入公式前没有把 mH 和 nF 换成 H 和 F。
- 以为 Q 高带宽就宽。Q 高表示带宽窄。
- 以为运放比较器的输出可以比电源电压还大。它永远不会超过 ±Vs。