क्या पृथ्वी गोल है? आसान प्रमाण
बहुत पहले से लोगों को संकेत मिल गए थे कि पृथ्वी गेंद जैसी गोल है।
- जहाज़ दूर जाता है तो पहले उसका निचला हिस्सा गायब होता है, फिर मस्तूल। समुद्र मुड़ा हुआ है।
- चंद्र ग्रहण में चाँद पर पृथ्वी की छाया का किनारा हमेशा गोल होता है।
- उत्तर या दक्षिण चलने पर नए तारे दिखते हैं और पुराने नीचे चले जाते हैं।
- अंतरिक्ष से ली गई तस्वीरों में गेंद दिखती है।
पृथ्वी पूरी तरह गेंद नहीं है। घूमने के कारण यह भूमध्य रेखा पर थोड़ी उभरी है। इसकी त्रिज्या लगभग 6,371 km और परिधि लगभग 40,000 km है। इस आकार को चपटा गोलाभ (oblate sphere) कहते हैं।
एराटोस्थनीज़ ने पृथ्वी को कैसे नापा
लगभग 2,200 साल पहले यूनानी विद्वान एराटोस्थनीज़ ने सुना कि सीन (Syene) शहर में दोपहर को सूरज गहरे कुएँ की तली तक चमकता है, यानी सूरज ठीक सिर के ऊपर होता है। उसी दिन उत्तर में दूर अलेक्ज़ैंड्रिया में खड़ी छड़ की छाया बनती थी।
उसने छाया का कोण नापा: लगभग 7.2 अंश। यह पूरे वृत्त (360 अंश) का 1/50 भाग है। यानी अलेक्ज़ैंड्रिया, सीन से पृथ्वी का 1/50 भाग आगे है।
दोनों शहरों के बीच दूरी लगभग 800 km है। इसलिए:
परिधि = 800 km × 50 = 40,000 km।
यह क्यों चलता है? सूरज इतना दूर है कि उसकी किरणें समानांतर हैं। दोनों सीधी छड़ें पृथ्वी के केंद्र की ओर जाती हैं। केंद्र पर बना कोण, छाया के कोण के बराबर होता है (समानांतर रेखाओं के एकांतर कोणों की तरह)।
त्रिभुजन और याम्योत्तर की लंबाई
बाद में सर्वेक्षकों को और अच्छा तरीका चाहिए था। याम्योत्तर (meridian) उत्तरी ध्रुव से दक्षिणी ध्रुव तक की काल्पनिक रेखा है। इसकी लंबाई नापने के लिए त्रिभुजन (triangulation) का उपयोग हुआ।
- एक सीधी, समतल दूरी बहुत सावधानी से नापें। यह आधार-रेखा (baseline) है।
- दोनों सिरों से दूर के निशान (पहाड़ी पर मीनार) तक के कोण नापें।
- कोण और आधार-रेखा से त्रिकोणमिति द्वारा त्रिभुज की बाकी भुजाएँ निकालें।
- नई भुजा को अगले त्रिभुज की आधार-रेखा बनाएँ। इस तरह त्रिभुजों की श्रृंखला बनती है।
फ्रांस में 1790 के दशक में याम्योत्तर इसी तरह नापी गई। भारत में महान त्रिकोणमितीय सर्वेक्षण (Great Trigonometrical Survey) ने दक्षिण से उत्तर तक लंबा चाप नापा। लंबे चाप और दोनों सिरों के अक्षांश से पृथ्वी का आकार निकलता है। कोण नापना आसान है, लंबी दूरी नापना कठिन; त्रिभुजन में सिर्फ एक आधार-रेखा चाहिए।
अक्षांश और देशांतर
अक्षांश (latitude) बताता है कि कोई जगह भूमध्य रेखा से कितनी उत्तर या दक्षिण है (0 से 90 अंश)। देशांतर (longitude) बताता है कि वह प्रधान याम्योत्तर से कितनी पूर्व या पश्चिम है (0 से 180 अंश)। दोनों मिलकर किसी भी जगह का पता बनाते हैं। पूरी जानकारी पाठ अक्षांश और देशांतर में है।
अक्षांश की रेखाएँ समानांतर वृत्त हैं। देशांतर की रेखाएँ अर्धवृत्त हैं जो ध्रुवों पर मिलती हैं।
गोले पर दूरी
सपाट नक्शे की सीधी रेखा गेंद पर सबसे छोटा रास्ता नहीं होती। गोले पर सबसे छोटा रास्ता बृहत् वृत्त (great circle) का चाप है, यानी वह वृत्त जो पृथ्वी को दो बराबर हिस्सों में बाँटे (भूमध्य रेखा और सभी याम्योत्तर)। हवाई जहाज़ इसी रास्ते पर उड़ते हैं।
चाप की लंबाई = त्रिज्या × कोण (रेडियन में), या दूरी = (कोण ÷ 360) × 40,000 km।
- 1 अंश अक्षांश हमेशा लगभग 111 km होता है।
- 1 अंश देशांतर भूमध्य रेखा पर लगभग 111 km है, और ध्रुवों की ओर घटता है: 111 × cos(अक्षांश) km। ध्रुवों पर यह 0 है।
खुद करके देखिए: छड़ से सूरज का कोण
दोपहर में समतल ज़मीन पर एक सीधी छड़ खड़ी करें। छाया का सिरा निशान लगाएँ और छड़ व छाया की लंबाई नापें। कागज़ पर त्रिभुज बनाकर चाँदे से छाया का कोण निकालें। कम से कम 300 km उत्तर या दक्षिण में रहने वाला दोस्त उसी मिनट यही करे। दोनों कोणों का अंतर और आपकी दूरी ऊपर के सूत्र में डालकर परिधि निकलेगी। 3D में भी देखिए: दूरी का स्लाइडर चलाइए और देखिए कि उत्तर 40,000 km के आसपास ही रहता है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- परिधि = शहरों की दूरी × 360 ÷ छाया का कोण
- त्रिज्या = परिधि ÷ (2 × π)
- चाप की लंबाई = (कोण ÷ 360) × परिधि = R × कोण (रेडियन)
- 1 अंश अक्षांश ≈ 111 km
- 1 अंश देशांतर ≈ 111 × cos(अक्षांश) km
हल किए गए उदाहरण
1. दो शहर 800 km दूर हैं। एक ही समय छाया के कोणों का अंतर 7.2 अंश है। पृथ्वी की परिधि निकालिए।
7.2 ÷ 360 = 1/50 वृत्त। परिधि = 800 × 50 = 40,000 km।
2. पृथ्वी की परिधि 40,000 km है। इसकी त्रिज्या निकालिए।
R = C ÷ (2π) = 40,000 ÷ 6.28 = लगभग 6,370 km।
3. एक ही याम्योत्तर पर दो जगहों के अक्षांश में 5 अंश का अंतर है। उनके बीच दूरी कितनी है?
1 अंश ≈ 111 km। दूरी = 5 × 111 = 555 km।
4. दो शहर 1,100 km दूर हैं और छाया के कोणों में 10 अंश का अंतर है। परिधि कितनी आती है?
परिधि = 1,100 × 360 ÷ 10 = 39,600 km।
5. एक सर्वेक्षक की आधार-रेखा AB = 10 km है। A पर मीनार C तक का कोण 90° और B पर 45° है। AC निकालिए।
त्रिभुज के कोण 90, 45 और इसलिए C पर 45। तो AC = AB = 10 km।
6. 60° उत्तर पर 1 अंश देशांतर कितना लंबा है?
लंबाई = 111 × cos 60 = 111 × 0.5 = लगभग 55.5 km।
आम गलतियाँ
- छाया का कोण ज़मीन पर नापना। यह छड़ और सूरज की किरण के बीच का कोण है।
- यह भूल जाना कि सूरज की किरणें समानांतर हैं। यह विधि तभी चलती है जब सूरज बहुत दूर हो।
- हर जगह 1 अंश देशांतर को 111 km मान लेना। यह ध्रुवों की ओर घटता है।
- सपाट नक्शे की सीधी रेखा को सबसे छोटा रास्ता समझना। गोले पर सबसे छोटा रास्ता बृहत् वृत्त का चाप है।