Limites de la mécanique de Newton et expérience de Michelson et Morley
La mécanique de Newton suppose que le temps et les longueurs sont les mêmes pour tout le monde, et que les vitesses s'additionnent simplement. Cela marche pour les voitures et les planètes, mais la lumière a brisé cette règle.
Les scientifiques pensaient que la lumière voyageait dans un « éther » invisible. Si la Terre se déplaçait dans cet éther, la lumière devrait aller plus vite dans un sens que dans l'autre. En 1887, Michelson et Morley ont séparé un faisceau de lumière en deux chemins à angle droit, puis les ont réunis pour chercher un décalage des franges d'interférence quand on tournait l'appareil. Ils n'ont trouvé aucun décalage. La vitesse de la lumière ne dépendait pas du mouvement de la Terre. L'éther n'existait pas.
Les deux postulats d'Einstein
- Principe de relativité : les lois de la physique sont les mêmes dans tout référentiel inertiel (un référentiel qui se déplace à vitesse constante). Aucune expérience ne permet de savoir si tu bouges « vraiment ».
- Constance de c : la lumière dans le vide se propage à c ≈ 3,00 × 10⁸ m/s pour tous les observateurs, quel que soit le mouvement de la source ou de l'observateur.
Si c est fixe, alors le temps et l'espace doivent s'ajuster. Le facteur qui indique de combien est le facteur de Lorentz γ = 1/√(1 − v²/c²).
Dilatation du temps
Dans l'horloge à lumière, les miroirs sont séparés d'une distance L. Au repos, un aller-retour dure t₀ = 2L/c. C'est le temps propre : le temps mesuré par une horloge au repos par rapport à l'événement.
Vue du sol, la lumière de l'horloge en mouvement suit un trajet oblique. Avec Pythagore, (ct/2)² = L² + (vt/2)², ce qui donne t = γ t₀. Une horloge en mouvement retarde.
Preuve : les muons vivent environ 2,2 μs au repos. Même à 0,99c, ils ne parcourraient qu'environ 650 m, et pourtant beaucoup atteignent le sol depuis 10 km de haut, car leur durée de vie est dilatée d'un facteur γ ≈ 7.
Contraction des longueurs
La longueur propre L₀ est mesurée par quelqu'un qui est au repos par rapport à l'objet. Un observateur qui le voit passer à la vitesse v mesure L = L₀ / γ, plus court uniquement dans la direction du mouvement. Du point de vue du muon, les 10 km d'air sont contractés à environ 1,4 km, donc il les traverse pendant sa courte vie. Les deux points de vue s'accordent sur ce qui se passe.
Masse et énergie : E = mc²
La masse est une forme d'énergie. L'énergie de repos d'une masse m est E₀ = mc². L'énergie totale d'une particule en mouvement est E = γmc², et son énergie cinétique est (γ − 1)mc². Quand v → c, γ → ∞, il faudrait donc une énergie infinie : rien qui possède une masse ne peut atteindre c.
Dans le Soleil et dans les réacteurs nucléaires, une petite perte de masse devient une grande quantité d'énergie. Unités : en physique des particules, les énergies sont souvent données en MeV (1 eV = 1,60 × 10⁻¹⁹ J).
Pour aller plus loin : un aperçu de la relativité générale
La relativité restreinte traite des référentiels à vitesse constante. La relativité générale d'Einstein (1915) ajoute la gravité : la masse courbe l'espace-temps, donc la lumière se courbe près du Soleil et les horloges retardent dans une gravité plus forte. Le GPS doit corriger ces deux effets.
À toi de jouer : sur le curseur, trouve la vitesse pour laquelle γ = 2. (Réponse : v ≈ 0,87c.) Vérifie ensuite avec la formule.
Formules et définitions clés
- γ = 1 / √(1 − v²/c²)
- t = γ t₀ (dilatation du temps, t₀ = temps propre)
- L = L₀ / γ (contraction des longueurs, L₀ = longueur propre)
- E₀ = mc² ; E = γmc² ; Eₖ = (γ − 1)mc²
- c ≈ 3,00 × 10⁸ m/s
Exemples résolus
1. Trouve γ pour v = 0,6c.
v²/c² = 0,36 ; 1 − 0,36 = 0,64 ; √0,64 = 0,8 ; γ = 1/0,8 = 1,25.
2. Un vaisseau se déplace à 0,8c. Une horloge à bord fait un tic de 1,0 s. Combien dure ce tic vu depuis la Terre ?
γ = 1/√(1 − 0,64) = 1/0,6 = 1,67. t = γt₀ = 1,67 × 1,0 = 1,67 s.
3. Une tige mesure 5,0 m au repos. Quelle longueur mesure-t-on quand elle se déplace dans le sens de sa longueur à 0,8c ?
γ = 1,67. L = L₀/γ = 5,0 / 1,667 = 3,0 m.
4. Quelle énergie contient 1,0 g de masse ?
E = mc² = 0,001 × (3,0 × 10⁸)² = 0,001 × 9,0 × 10¹⁶ = 9,0 × 10¹³ J.
5. Des muons ont une durée de vie propre de 2,2 μs et se déplacent à 0,995c. Quelle distance parcourent-ils pendant une durée de vie, vue depuis le sol ?
γ = 1/√(1 − 0,990) = 1/√0,00998 ≈ 10,0. Durée de vie dilatée = 22 μs. Distance = 0,995 × 3,0 × 10⁸ × 22 × 10⁻⁶ ≈ 6,6 km (contre seulement 0,66 km sans relativité).
6. Un électron (m = 9,11 × 10⁻³¹ kg) se déplace avec γ = 3. Trouve son énergie cinétique.
Eₖ = (γ − 1)mc² = 2 × 9,11 × 10⁻³¹ × 9,0 × 10¹⁶ = 1,64 × 10⁻¹³ J (environ 1,02 MeV).
Erreurs fréquentes
- Mettre v en m/s et c égal à 1 dans la même formule. Utilise v/c comme rapport, ou bien les deux en m/s.
- Confondre temps propre et temps dilaté. Le temps propre t₀ est celui de l'horloge qui se déplace avec l'événement, et c'est le plus court.
- Croire que la longueur diminue dans toutes les directions. Seule la longueur dans le sens du mouvement diminue.
- Additionner les vitesses comme Newton : deux faisceaux de lumière qui se rapprochent ne se rapprochent pas à 2c. Chaque observateur mesure toujours c.