Límites de la mecánica de Newton y el experimento de Michelson–Morley
La mecánica de Newton supone que el tiempo y la longitud son iguales para todos, y que las velocidades simplemente se suman. Eso funciona para coches y planetas, pero la luz rompió la regla.
Los científicos pensaban que la luz viajaba por un «éter» invisible. Si la Tierra se movía a través de él, la luz debería ir más rápido en un sentido que en otro. En 1887, Michelson y Morley dividieron un haz de luz en dos caminos perpendiculares y los volvieron a unir para buscar un cambio en las franjas de interferencia al girar el aparato. No encontraron ningún cambio. La velocidad de la luz no dependía del movimiento de la Tierra. No había éter que detectar.
Los dos postulados de Einstein
- Principio de relatividad: las leyes de la física son las mismas en todo sistema inercial (un sistema que se mueve con velocidad constante). Ningún experimento puede decirte si te mueves «de verdad».
- Constancia de c: la luz en el vacío viaja a c ≈ 3.00 × 10⁸ m/s para todos los observadores, sea cual sea el movimiento de la fuente o del observador.
Si c es fija, entonces el tiempo y el espacio deben ajustarse. El factor que dice cuánto es el factor de Lorentz γ = 1/√(1 − v²/c²).
Dilatación del tiempo
En el reloj de luz, los espejos están a una distancia L. En reposo, un viaje dura t₀ = 2L/c. Este es el tiempo propio: el tiempo medido por un reloj que está en reposo respecto al suceso.
Visto desde el suelo, la luz del reloj en movimiento sigue un camino inclinado. Con Pitágoras, (ct/2)² = L² + (vt/2)², lo que da t = γ t₀. Un reloj en movimiento va más lento.
Prueba: los muones viven unos 2.2 μs en reposo. Incluso a 0.99c recorrerían solo unos 650 m, pero muchos llegan al suelo desde 10 km de altura, porque su vida se dilata por γ ≈ 7.
Contracción de la longitud
La longitud propia L₀ la mide alguien que está en reposo respecto al objeto. Un observador que lo ve moverse a velocidad v mide L = L₀ / γ, más corta solo en la dirección del movimiento. Desde el punto de vista del muón, los 10 km de aire se contraen a unos 1.4 km, así que los cruza en su corta vida. Los dos puntos de vista coinciden en lo que ocurre.
Masa y energía: E = mc²
La masa es una forma de energía. La energía en reposo de una masa m es E₀ = mc². La energía total de una partícula en movimiento es E = γmc², y su energía cinética es (γ − 1)mc². Cuando v → c, γ → ∞, así que haría falta una energía infinita: nada con masa puede alcanzar c.
En el Sol y en los reactores nucleares, una pequeña pérdida de masa se convierte en mucha energía. Unidades: en física de partículas las energías se dan a menudo en MeV (1 eV = 1.60 × 10⁻¹⁹ J).
Más allá: una mirada a la relatividad general
La relatividad especial trata de sistemas que se mueven con velocidad constante. La relatividad general de Einstein (1915) añade la gravedad: la masa curva el espacio-tiempo, así que la luz se desvía cerca del Sol y los relojes van más lentos donde la gravedad es más fuerte. El GPS debe corregir ambos efectos.
Pruébalo: en el control, busca la velocidad en la que γ = 2. (Respuesta: v ≈ 0.87c.) Luego compruébalo con la fórmula.
Fórmulas y definiciones clave
- γ = 1 / √(1 − v²/c²)
- t = γ t₀ (dilatación del tiempo, t₀ = tiempo propio)
- L = L₀ / γ (contracción de la longitud, L₀ = longitud propia)
- E₀ = mc²; E = γmc²; Eₖ = (γ − 1)mc²
- c ≈ 3.00 × 10⁸ m/s
Ejemplos resueltos
1. Calcula γ para v = 0.6c.
v²/c² = 0.36; 1 − 0.36 = 0.64; √0.64 = 0.8; γ = 1/0.8 = 1.25.
2. Una nave se mueve a 0.8c. Un reloj a bordo marca 1.0 s. ¿Cuánto dura ese tic visto desde la Tierra?
γ = 1/√(1 − 0.64) = 1/0.6 = 1.67. t = γt₀ = 1.67 × 1.0 = 1.67 s.
3. Una barra mide 5.0 m en reposo. ¿Cuánto mide si se mueve a 0.8c a lo largo de su longitud?
γ = 1.67. L = L₀/γ = 5.0 / 1.667 = 3.0 m.
4. ¿Cuánta energía hay en 1.0 g de masa?
E = mc² = 0.001 × (3.0 × 10⁸)² = 0.001 × 9.0 × 10¹⁶ = 9.0 × 10¹³ J.
5. Los muones tienen una vida propia de 2.2 μs y se mueven a 0.995c. ¿Qué distancia recorren en una vida, vista desde el suelo?
γ = 1/√(1 − 0.990) = 1/√0.00998 ≈ 10.0. Vida dilatada = 22 μs. Distancia = 0.995 × 3.0 × 10⁸ × 22 × 10⁻⁶ ≈ 6.6 km (frente a solo 0.66 km sin relatividad).
6. Un electrón (m = 9.11 × 10⁻³¹ kg) se mueve con γ = 3. Calcula su energía cinética.
Eₖ = (γ − 1)mc² = 2 × 9.11 × 10⁻³¹ × 9.0 × 10¹⁶ = 1.64 × 10⁻¹³ J (unos 1.02 MeV).
Errores comunes
- Poner v en m/s y c como 1 en la misma fórmula. Usa v/c como cociente, o ambas en m/s.
- Confundir el tiempo propio con el dilatado. El tiempo propio t₀ es el del reloj que se mueve con el suceso, y es el más corto.
- Creer que la longitud se encoge en todas las direcciones. Solo se encoge la longitud en la dirección del movimiento.
- Sumar velocidades como Newton: dos rayos de luz que se acercan no se acercan a 2c. Todo observador sigue midiendo c.