Grenzen der Newtonschen Mechanik und das Michelson-Morley-Experiment
Newtons Mechanik nimmt an, dass Zeit und Länge für alle gleich sind und dass sich Geschwindigkeiten einfach addieren. Das stimmt für Autos und Planeten, aber das Licht brach diese Regel.
Man glaubte, Licht bewege sich durch einen unsichtbaren „Äther“. Wenn die Erde sich durch ihn bewegt, müsste Licht in einer Richtung schneller sein als in der anderen. 1887 teilten Michelson und Morley einen Lichtstrahl in zwei Wege im rechten Winkel und führten ihn wieder zusammen. Beim Drehen der Apparatur suchten sie nach einer Verschiebung der Interferenzstreifen. Sie fanden keine Verschiebung. Die Lichtgeschwindigkeit hing nicht von der Bewegung der Erde ab. Einen Äther gab es nicht nachzuweisen.
Einsteins zwei Postulate
- Relativitätsprinzip: Die Gesetze der Physik sind in jedem Inertialsystem gleich (ein System, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt). Kein Experiment zeigt dir, ob du „wirklich“ in Bewegung bist.
- Konstanz von c: Licht im Vakuum hat für alle Beobachter die Geschwindigkeit c ≈ 3,00 × 10⁸ m/s, egal wie sich Quelle oder Beobachter bewegen.
Wenn c feststeht, müssen sich Zeit und Raum anpassen. Wie stark, sagt der Lorentzfaktor γ = 1/√(1 − v²/c²).
Zeitdilatation
In der Lichtuhr haben die Spiegel den Abstand L. In Ruhe dauert ein Hin- und Rückweg t₀ = 2L/c. Das ist die Eigenzeit: die Zeit, die eine Uhr misst, die beim Ereignis ruht.
Vom Boden aus läuft das Licht der bewegten Uhr auf einem schrägen Weg. Mit dem Satz des Pythagoras gilt (ct/2)² = L² + (vt/2)², und daraus folgt t = γ t₀. Eine bewegte Uhr geht langsam.
Beleg: Myonen leben in Ruhe etwa 2,2 μs. Selbst bei 0,99c kämen sie nur etwa 650 m weit, doch viele erreichen den Boden aus 10 km Höhe, weil ihre Lebensdauer um γ ≈ 7 gedehnt ist.
Längenkontraktion
Die Eigenlänge L₀ misst jemand, der relativ zum Objekt ruht. Ein Beobachter, der es mit v vorbeifliegen sieht, misst L = L₀ / γ, und zwar nur in Bewegungsrichtung kürzer. Aus Sicht des Myons schrumpfen die 10 km Luft auf etwa 1,4 km, deshalb schafft es sie in seinem kurzen Leben. Beide Sichtweisen stimmen darin überein, was passiert.
Masse und Energie: E = mc²
Masse ist eine Form von Energie. Die Ruheenergie einer Masse m ist E₀ = mc². Die Gesamtenergie eines bewegten Teilchens ist E = γmc², seine kinetische Energie (γ − 1)mc². Für v → c geht γ → ∞, man bräuchte also unendlich viel Energie: Nichts mit Masse kann c erreichen.
In der Sonne und in Kernreaktoren wird ein kleiner Massenverlust zu einer großen Energiemenge. Einheiten: In der Teilchenphysik gibt man Energien oft in MeV an (1 eV = 1,60 × 10⁻¹⁹ J).
Ausblick: ein Blick auf die allgemeine Relativitätstheorie
Die spezielle Relativitätstheorie behandelt Systeme mit konstanter Geschwindigkeit. Einsteins allgemeine Relativitätstheorie (1915) bezieht die Gravitation ein: Masse krümmt die Raumzeit, daher wird Licht nahe der Sonne abgelenkt, und Uhren gehen in stärkerer Gravitation langsamer. GPS muss beide Effekte korrigieren.
Probier es aus: Finde am Regler die Geschwindigkeit, bei der γ = 2 ist. (Antwort: v ≈ 0,87c.) Prüfe sie dann mit der Formel.
Wichtige Formeln und Definitionen
- γ = 1 / √(1 − v²/c²)
- t = γ t₀ (Zeitdilatation, t₀ = Eigenzeit)
- L = L₀ / γ (Längenkontraktion, L₀ = Eigenlänge)
- E₀ = mc²; E = γmc²; Eₖ = (γ − 1)mc²
- c ≈ 3,00 × 10⁸ m/s
Gelöste Beispiele
1. Berechne γ für v = 0.6c.
v²/c² = 0.36; 1 − 0.36 = 0.64; √0.64 = 0.8; γ = 1/0.8 = 1.25.
2. Ein Raumschiff fliegt mit 0.8c. Eine Uhr an Bord tickt 1.0 s. Wie lange dauert dieser Tick von der Erde aus gesehen?
γ = 1/√(1 − 0.64) = 1/0.6 = 1.67. t = γt₀ = 1.67 × 1.0 = 1.67 s.
3. Ein Stab ist in Ruhe 5.0 m lang. Wie lang misst man ihn, wenn er sich mit 0.8c in Längsrichtung bewegt?
γ = 1.67. L = L₀/γ = 5.0 / 1.667 = 3.0 m.
4. Wie viel Energie steckt in 1.0 g Masse?
E = mc² = 0.001 × (3.0 × 10⁸)² = 0.001 × 9.0 × 10¹⁶ = 9.0 × 10¹³ J.
5. Myonen haben eine Eigenlebensdauer von 2.2 μs und fliegen mit 0.995c. Welche Strecke legen sie in einer Lebensdauer vom Boden aus gesehen zurück?
γ = 1/√(1 − 0.990) = 1/√0.00998 ≈ 10.0. Gedehnte Lebensdauer = 22 μs. Strecke = 0.995 × 3.0 × 10⁸ × 22 × 10⁻⁶ ≈ 6.6 km (ohne Relativität nur 0.66 km).
6. Ein Elektron (m = 9.11 × 10⁻³¹ kg) bewegt sich mit γ = 3. Berechne seine kinetische Energie.
Eₖ = (γ − 1)mc² = 2 × 9.11 × 10⁻³¹ × 9.0 × 10¹⁶ = 1.64 × 10⁻¹³ J (etwa 1.02 MeV).
Häufige Fehler
- v in m/s einsetzen und c als 1 in derselben Formel. Nimm v/c als Verhältnis oder beide in m/s.
- Eigenzeit und gedehnte Zeit vertauschen. Die Eigenzeit t₀ gehört zur Uhr, die sich mit dem Ereignis mitbewegt, und sie ist die kürzeste.
- Glauben, die Länge schrumpfe in alle Richtungen. Nur die Länge in Bewegungsrichtung wird kürzer.
- Geschwindigkeiten wie bei Newton addieren: Zwei Lichtstrahlen, die aufeinander zukommen, nähern sich nicht mit 2c. Jeder Beobachter misst weiterhin c.