हनोई टावर का सूत्र क्या है?

n चकतियों के लिए कम से कम चालें 2^n - 1 होती हैं। 3 चकतियों में 7, 4 में 15 और 5 में 31।

क्या हनोई टावर समझना मुश्किल है?

नहीं। 1, 2 और 3 चकतियों से शुरू करो। फिर देखो कि n चकतियाँ चलाने के लिए n - 1 चकतियाँ हटाओ, बड़ी चलाओ और n - 1 वापस ऊपर रखो।

स्कूल में पहेलियाँ और गणित का इतिहास क्यों पढ़ाते हैं?

इनसे दिखता है कि गणित सिर्फ़ नियम नहीं, इंसानी कहानी भी है। पहेलियाँ पैटर्न खोजना, विचार जाँचना और कारण बताना सिखाती हैं।

गणित की पहेलियाँ और खेल: हनोई टावर, निम, जादुई वर्ग

पहेलियाँ और खेल गणित के साथ-साथ बढ़े। हनोई टावर में n चकतियों के लिए कम से कम 2^n - 1 चालें लगती हैं, जो दुगना करके एक जोड़ने के विचार से मिलता है। निम खेल में 4 का गुणज छोड़ने वाला जीतता है। 3 × 3 जादुई वर्ग की हर पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण का योग 15 होता है। 1736 में यूलर की पुल-पहेली से ग्राफ़ सिद्धांत शुरू हुआ। पहले खेलो, फिर नियम खोजो।

गणित में पहेलियाँ और खेल क्यों ज़रूरी हैं

लोग हज़ारों साल से संख्याओं से खेलते आए हैं। बहुत सी पहेलियाँ बस मज़े के लिए थीं। पर कुछ में नया विचार छिपा था, और वही आगे चलकर असली गणित बना।

जादुई वर्ग पुराने चीनी और भारतीय लेखों में मिलते हैं। इनसे संख्याओं के पैटर्न समझने में मदद मिली।
कोनिग्सबर्ग का पुल (1736): यूलर ने बिंदु और रेखाओं से सोचा। यहीं से ग्राफ़ सिद्धांत (graph theory) शुरू हुआ, जो नक्शों और इंटरनेट में काम आता है।
हनोई टावर (1883) पुनरावर्तन (recursion) का साफ़ उदाहरण है: बड़ा काम उसी काम की छोटी कॉपी से हल होता है।
निम ऐसा खेल है जो नियम से जीता जा सकता है। यह खेल सिद्धांत (game theory) की शुरुआत है।

इसलिए पहेलियाँ गणित सोचने की अच्छी प्रैक्टिस हैं: पैटर्न खोजो, जाँचो, फिर सिद्ध करो।

हनोई टावर

तीन खूँटियाँ हैं और n अलग-अलग आकार की चकतियाँ। सब चकतियाँ पहली खूँटी पर हैं, सबसे बड़ी नीचे। लक्ष्य: सब चकतियाँ आख़िरी खूँटी पर ले जाओ।

नियम: (1) एक बार में एक चकती चलाओ; (2) खूँटी की सिर्फ़ ऊपर वाली चकती उठाओ; (3) बड़ी चकती कभी छोटी पर न रखो।

पहले छोटे मामले देखो:

चकतियाँ	कम से कम चालें
1	1
2	3
3	7
4	15
5	31

पैटर्न दिखा? हर संख्या पिछली से दुगनी और एक ज़्यादा है। हर संख्या 2 की घात से एक कम भी है: 1 = 2¹ - 1, 3 = 2² - 1, 7 = 2³ - 1, 15 = 2⁴ - 1।

2^n - 1 क्यों? दुगना करने का विचार

n चकतियाँ खूँटी क से ग पर ले जाने के लिए तीन काम करने पड़ते हैं:

ऊपर की n - 1 चकतियाँ क से ख पर ले जाओ (रास्ता साफ़ करने के लिए)।
सबसे बड़ी चकती क से ग पर रखो (1 चाल)।
n - 1 चकतियाँ ख से ग पर, बड़ी चकती के ऊपर रखो।

काम 1 और 3 एक जैसी छोटी पहेली हैं। अगर कम से कम चालें T(n) हों तो:

T(n) = 2 × T(n - 1) + 1, और T(1) = 1।

इससे 1, 3, 7, 15, 31, 63 मिलते हैं। सीधा सूत्र है T(n) = 2ⁿ - 1। उसी समस्या की छोटी कॉपी का उपयोग करना पुनरावर्तन (recursion) कहलाता है।

एक मशहूर कहानी में साधु 64 सोने की चकतियाँ चलाते हैं। इसके लिए 2⁶⁴ - 1 चालें लगेंगी, यानी लगभग 18 के बाद 18 शून्य। हर सेकंड एक चाल चलें तो भी 500 अरब साल से ज़्यादा लगेंगे।

निम का खेल

21 तीलियों का ढेर लो। दो खिलाड़ी बारी-बारी से हर बार 1, 2 या 3 तीलियाँ उठाते हैं। जो आख़िरी तीली उठाए, वह जीतता है।

राज़: अगर तुम 4 का गुणज (20, 16, 12, 8, 4) छोड़ो तो तुम जीतोगे। क्यों? विरोधी जो भी उठाए (1, 2 या 3), तुम 4 का वह बचा हिस्सा (3, 2 या 1) उठा लो। हर दौर में ढेर 4 से घटता है और 0 पर तुम पहले पहुँचते हो।

21 तीलियों में पहला खिलाड़ी 1 उठाकर 20 छोड़ता है और आगे 4 का गुणज बनाए रखता है। अगर शुरुआत में ही ढेर 4 का गुणज हो, तो सही खेलने पर दूसरा खिलाड़ी जीतता है।

जादुई वर्ग

जादुई वर्ग अलग-अलग संख्याओं का ऐसा वर्गाकार ग्रिड है जिसकी हर पंक्ति, हर स्तंभ और दोनों विकर्णों का योग एक ही होता है। इस योग को जादुई स्थिरांक कहते हैं।

n × n वर्ग में संख्याएँ 1 से n² तक हों तो स्थिरांक है n(n² + 1) / 2। 3 × 3 के लिए 3 × 10 / 2 = 15। 4 × 4 के लिए 4 × 17 / 2 = 34।

15 क्यों? 1 से 9 का योग 45 है। तीन बराबर पंक्तियों में 45 बँटता है, तो हर पंक्ति 45 / 3 = 15। बीच की संख्या 5 (औसत) होनी चाहिए। एक 3 × 3 उदाहरण:

2	7	6
9	5	1
4	3	8

यह नमूना प्राचीन चीन में लो शू वर्ग के नाम से जाना जाता है। भारत में भी जादुई वर्गों का अध्ययन हुआ, जैसे खजुराहो में खुदा प्रसिद्ध 4 × 4 वर्ग।

वह पुल-पहेली जिससे ग्राफ़ सिद्धांत शुरू हुआ

कोनिग्सबर्ग शहर में 4 ज़मीन के टुकड़ों को जोड़ने वाले 7 पुल थे। क्या कोई हर पुल से ठीक एक बार गुज़रकर घूम सकता है? 1736 में लियोनार्ड यूलर ने कहा: नहीं।

उन्होंने हर ज़मीन को बिंदु और हर पुल को रेखा बनाया। हर रेखा से एक बार गुज़रने वाला रास्ता तभी बनता है जब ज़्यादा से ज़्यादा 2 बिंदुओं पर विषम (odd) संख्या में रेखाएँ मिलें। यहाँ चारों बिंदुओं पर विषम संख्या थी, इसलिए रास्ता असंभव था। इसी एक विचार से ग्राफ़ सिद्धांत शुरू हुआ।

करके देखो: खुद हल करो

3D में स्लाइडर 2 चकतियों पर रखो। छू-छूकर खेलो। क्या 3 चालों में हो गया?
4 चकतियों के लिए पहले अंदाज़ा लगाओ। फिर हल करो और गिनती से जाँचो।
घर पर 3 अलग आकार के सिक्के चकतियाँ और 3 प्लेटें खूँटियाँ बनाओ। 7 चालों में हल करो।
दोस्त के साथ 21 पेंसिलों से निम खेलो। "चार छोड़ो" नियम आज़माओ।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

हनोई टावर: n चकतियों के लिए कम से कम चालें = 2^n - 1
पुनरावर्तन: T(n) = 2 × T(n - 1) + 1, और T(1) = 1
n × n जादुई वर्ग (संख्याएँ 1 से n^2) का स्थिरांक = n(n^2 + 1) / 2
निम (1 से 3 तीलियाँ, आख़िरी तीली जीत): 4 का गुणज छोड़ो
यूलर पथ: हर रेखा से एक बार जाना तभी संभव जब ज़्यादा से ज़्यादा 2 बिंदुओं पर विषम रेखाएँ हों

हल किए गए उदाहरण

1. 5 चकतियों वाले हनोई टावर में कम से कम कितनी चालें लगती हैं?

T(n) = 2^n - 1। n = 5 के लिए: 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31 चालें। दुगना करके जाँचो: 15 × 2 + 1 = 31।

2. ढेर में 17 तीलियाँ हैं। हर बार 1, 2 या 3 उठानी हैं और आख़िरी तीली उठाने वाला जीतता है। तुम पहले हो। कितनी उठाओगे?

4 का गुणज छोड़ो। 17 - 1 = 16, इसलिए 1 उठाओ। फिर दोस्त जितनी (k) उठाए, तुम 4 - k उठाओ।

3. 1 से 25 संख्याओं वाले 5 × 5 जादुई वर्ग का जादुई स्थिरांक निकालो।

n(n^2 + 1) / 2 = 5 × (25 + 1) / 2 = 5 × 26 / 2 = 65।

4. 3 × 3 जादुई वर्ग (स्थिरांक 15) की पहली पंक्ति 8, ?, 6 है और बीच की संख्या 5 है। छूटी संख्या ढूँढो।

पंक्ति का योग 15 है, इसलिए ? = 15 - 8 - 6 = 1। बीच के स्तंभ की जाँच: 1 + 5 + 9 = 15, इसलिए नीचे 9 आएगा।

5. एक रोबोट हर सेकंड हनोई की 1 चाल चलता है। 8 चकतियों में कितना समय लगेगा?

चालें = 2^8 - 1 = 255। हर सेकंड 1 चाल, तो 255 सेकंड, यानी लगभग 4 मिनट 15 सेकंड।

6. 2 चकतियों को खूँटी क से ग पर 3 चालों में कैसे ले जाएँ?

चाल 1: छोटी चकती क से ख। चाल 2: बड़ी चकती क से ग। चाल 3: छोटी चकती ख से ग। यह 2^2 - 1 = 3 के बराबर है।

आम गलतियाँ

n चकतियों की चालें 2n या n^2 मान लेना। जाँचो: 3 चकतियों में 7 चालें लगती हैं, 6 या 9 नहीं। नियम 2^n - 1 है।
एक चाल के लिए भी बड़ी चकती को छोटी पर रख देना। इससे मुख्य नियम टूट जाता है।
निम में अपनी चाल के बाद बची तीलियाँ गिनने की जगह पहले की गिनना। चाल के बाद की गिनती देखो।
यह भूल जाना कि हर पंक्ति, हर स्तंभ और दोनों विकर्णों का योग बराबर होना चाहिए।

अभ्यास क्विज़

अभ्यास: खुद जवाब दो

अपना जवाब लिखो या चुनो, फिर जाँचें दबाओ। अटको तो संकेत देखो; जवाब देने के बाद पूरा हल दिखेगा।

गणित की पहेलियाँ और खेल: हनोई टावर, निम और जादुई वर्ग

🎬 कदम-दर-कदम कहानी

🤔 आम शंकाएँ और उनके जवाब

क्या मैं एक पल के लिए बड़ी चकती छोटी पर रख सकता हूँ?

एक चकती जोड़ने से चालें लगभग दुगनी क्यों हो जाती हैं?

क्या 3 चकतियों के लिए सच में 7 ही कम से कम हैं?

हम 1 और 2 चकतियों से शुरू क्यों करते हैं?

क्या हनोई टावर किसी प्राचीन मंदिर से आया है?