बूलियन मान और लॉजिक गेट: NOT, AND, OR
बूलियन तर्क (जॉर्ज बूल के नाम पर) में केवल दो मान: 1 = सत्य, 0 = असत्य। लॉजिक गेट छोटा सर्किट है जो बूलियन इनपुट लेकर एक आउटपुट देता है।
- NOT (A'): एक इनपुट, उसे उलटता है।
- AND (A·B): तभी 1 जब सभी इनपुट 1।
- OR (A + B): कम से कम एक इनपुट 1 हो तो 1।
NAND, NOR और XOR गेट
- NAND = NOT AND: (A·B)'। केवल तब 0 जब सभी इनपुट 1।
- NOR = NOT OR: (A + B)'। केवल तब 1 जब सभी इनपुट 0।
- XOR (A ⊕ B): इनपुट अलग हों तो 1। A ⊕ B = A·B' + A'·B।
NAND और NOR को यूनिवर्सल गेट कहते हैं, क्योंकि केवल NAND (या केवल NOR) से बाकी हर गेट बन सकता है।
सत्य सारणी (Truth Table)
सत्य सारणी इनपुट के हर संयोजन और उसका आउटपुट दिखाती है। n इनपुट पर 2n पंक्तियाँ (2 इनपुट → 4, 3 इनपुट → 8)।
| A | B | AND | OR | NAND | NOR | XOR |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
NOT: A = 0 → 1, A = 1 → 0।
डी मॉर्गन के नियम
नियम 1: (A·B)' = A' + B'
नियम 2: (A + B)' = A'·B'
सत्य सारणी से प्रमाण: A, B, A·B, (A·B)', A', B', A' + B' के स्तंभ बनाइए। (A·B)' और A' + B' दोनों हर पंक्ति में 1, 1, 1, 0 हैं, इसलिए बराबर। नियम 2 भी ऐसे ही जाँचते हैं।
तरकीब: पूरे व्यंजक का डंडा तोड़ो, हर चर पर डंडा लगाओ, और · को + (या + को ·) कर दो।
लॉजिक सर्किट
लॉजिक सर्किट में एक गेट का आउटपुट दूसरे का इनपुट बनता है। हर सर्किट एक बूलियन व्यंजक से मेल खाता है।
उदाहरण: X = A·B + C'। इसमें A·B के लिए AND, C के लिए NOT, और दोनों को जोड़ने वाला OR गेट है।
व्यंजक से सर्किट: पहले कोष्ठक और NOT, फिर AND, फिर OR (प्राथमिकता NOT > AND > OR)। सर्किट से व्यंजक: बाएँ से दाएँ हर गेट का आउटपुट लिखते जाइए।
बोर्ड परीक्षा पर ध्यान
आम प्रश्न: 2 या 3 इनपुट व्यंजक की सत्य सारणी, डी मॉर्गन का सत्य सारणी से प्रमाण (3 अंक), (A + B)·C' जैसे व्यंजक का सर्किट, दिए सर्किट का व्यंजक।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- NOT: A' AND: A·B OR: A + B
- NAND: (A·B)' NOR: (A + B)' XOR: A ⊕ B = A·B' + A'·B
- डी मॉर्गन 1: (A·B)' = A' + B'
- डी मॉर्गन 2: (A + B)' = A'·B'
- सत्य सारणी की पंक्तियाँ = 2ⁿ
- प्राथमिकता: NOT > AND > OR
हल किए गए उदाहरण
1. A = 0, B = 1 पर A·B + A' का आउटपुट निकालें।
A·B = 0। A' = 1। आउटपुट = 0 + 1 = 1।
2. 3 इनपुट वाले व्यंजक की सत्य सारणी में कितनी पंक्तियाँ?
2³ = 8 पंक्तियाँ।
3. X = (A + B)' की सत्य सारणी बनाइए।
00: A+B=0 → X=1। 01: 1 → 0। 10: 1 → 0। 11: 1 → 0। यह NOR गेट है।
4. सत्य सारणी से (A + B)' = A'·B' सिद्ध करें।
पंक्तियाँ 00, 01, 10, 11। A + B: 0,1,1,1 → (A+B)': 1,0,0,0। A': 1,1,0,0; B': 1,0,1,0 → A'·B': 1,0,0,0। दोनों स्तंभ समान, नियम सिद्ध।
5. डी मॉर्गन से सरल करें: (A'·B)'।
(A'·B)' = (A')' + B' = A + B'।
6. X = (A·B) + (B'·C) का सर्किट शब्दों में बताइए और A=1, B=0, C=1 पर X निकालिए।
गेट: AND1(A, B); NOT(B); AND2(B', C); OR(AND1, AND2)। A·B = 0; B' = 1; B'·C = 1; X = 0 + 1 = 1।
आम गलतियाँ
- OR को 'केवल एक' समझना। दोनों 1 होने पर भी OR = 1; 'केवल एक' XOR है।
- डी मॉर्गन में चिह्न न बदलना: (A·B)' ≠ A'·B'।
- 3 इनपुट पर केवल 4 पंक्तियाँ लिखना। 2³ = 8 चाहिए।
- व्यंजक में AND से पहले OR करना। AND की प्राथमिकता ज़्यादा है।