Sammel- und Zerstreuungslinsen: die wichtigsten Begriffe
Eine Linse ist ein Stück durchsichtiges Material mit mindestens einer gewölbten Oberfläche. Sie wirkt durch Brechung, nicht durch Spiegelung.
- Sammellinse (konvex): in der Mitte dicker; lenkt parallele Strahlen so ab, dass sie sich in einem Punkt treffen.
- Zerstreuungslinse (konkav): in der Mitte dünner; lenkt parallele Strahlen nach außen, sodass sie aus einem Punkt zu kommen scheinen.
Begriffe
- Optischer Mittelpunkt (O): der Punkt in der Mitte der Linse; ein Strahl durch ihn geht geradeaus weiter.
- Krümmungsmittelpunkte (C₁, C₂): eine Linse hat zwei gewölbte Flächen, also zwei Mittelpunkte. Optische Achse: die Linie durch beide.
- Brennpunkte (F₁, F₂): einer auf jeder Seite. Bei einer Sammellinse treffen sich parallele Strahlen in F₂; bei einer Zerstreuungslinse scheinen sie aus F₁ zu kommen.
- Brennweite (f): Abstand von O zu einem Brennpunkt. Öffnung: der Durchmesser der Linse.
- Die Punkte im doppelten Abstand der Brennweite heißen in Strahlendiagrammen 2F₁ und 2F₂.
Regeln zum Zeichnen von Strahlendiagrammen bei Linsen
- Ein Strahl parallel zur optischen Achse geht nach der Brechung durch F₂ (konvex) oder scheint aus F₁ zu kommen (konkav).
- Ein Strahl durch F₁ (konvex) oder in Richtung F₂ (konkav) verlässt die Linse parallel zur Achse.
- Ein Strahl durch den optischen Mittelpunkt O geht ohne Knick geradeaus weiter.
Zwei beliebige Strahlen genügen. In der 3D-Bank benutzt der orange Strahl Regel 1 und der türkisfarbene Regel 3. Gepunktete Linien bedeuten, dass sich die Strahlen dort nur zu treffen scheinen (virtuelles Bild).
Bildentstehung bei der Sammellinse (jede Gegenstandsposition)
| Gegenstandsposition | Bildposition | Größe | Art |
|---|---|---|---|
| Im Unendlichen | In F₂ | Punktförmig, stark verkleinert | Reell, umgekehrt |
| Hinter 2F₁ | Zwischen F₂ und 2F₂ | Verkleinert | Reell, umgekehrt |
| In 2F₁ | In 2F₂ | Gleich groß | Reell, umgekehrt |
| Zwischen F₁ und 2F₁ | Hinter 2F₂ | Vergrößert | Reell, umgekehrt |
| In F₁ | Im Unendlichen | Stark vergrößert | Reell, umgekehrt |
| Zwischen F₁ und O | Auf der Seite des Gegenstands | Vergrößert | Virtuell, aufrecht |
Anwendungen dieser Fälle: Gegenstand weit weg → Kamera; Gegenstand zwischen F₁ und 2F₁ → Beamer; Gegenstand innerhalb von F₁ → Lupe.
Bildentstehung bei der Zerstreuungslinse
| Gegenstandsposition | Bildposition | Größe | Art |
|---|---|---|---|
| Im Unendlichen | In F₁ | Punktförmig | Virtuell, aufrecht |
| Zwischen Unendlich und O | Zwischen F₁ und O, gleiche Seite | Verkleinert | Virtuell, aufrecht |
Eine Zerstreuungslinse kann von einem realen Gegenstand nie ein reelles Bild erzeugen. Deshalb nutzt man sie in Türspionen (ein weiter, kleiner, aufrechter Blick) und zur Korrektur von Kurzsichtigkeit.
Vorzeichenregel und Linsengleichung
Für Linsen gilt dieselbe kartesische Vorzeichenregel wie für Spiegel, mit dem optischen Mittelpunkt O als Ursprung. Das Licht läuft von links nach rechts, deshalb ist u negativ. Strecken rechts von O sind positiv.
- Sammellinse: f positiv. Zerstreuungslinse: f negativ.
- Reelles Bild (auf der anderen Seite): v positiv. Virtuelles Bild (auf der Seite des Gegenstands): v negativ.
Linsengleichung: 1/v − 1/u = 1/f
Vergrößerung: m = h′/h = v/u
Positives m → virtuell und aufrecht; negatives m → reell und umgekehrt. Merke: Die Linsengleichung hat ein Minus und m = +v/u, die Spiegelgleichung dagegen ein Plus und m = −v/u.
Brechkraft einer Linse
Eine Linse mit kurzer Brennweite lenkt das Licht stärker ab. Das messen wir mit der Brechkraft:
P = 1/f (f in Metern)
- SI-Einheit: Dioptrie (D). 1 D ist die Brechkraft einer Linse mit 1 m Brennweite.
- Sammellinse: positive Brechkraft. Zerstreuungslinse: negative Brechkraft.
- Wenn f in cm gegeben ist, nimm P = 100/f.
- Linsen, die sich berühren: die Brechkräfte addieren sich einfach, P = P₁ + P₂ + ….
Hinweise für die Prüfung: Strahlendiagramme für eine Sammellinse (2–3 Punkte), eine Rechenaufgabe mit Linsengleichung und Vergrößerung (3 Punkte) und Fragen zu Brechkraft und Dioptrie (1–2 Punkte) kommen fast jedes Jahr dran.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Linsengleichung: 1/v − 1/u = 1/f
- Vergrößerung: m = h′/h = v/u
- Brechkraft: P = 1/f (f in Metern) = 100/f (f in cm), Einheit Dioptrie (D)
- Linsen in Kontakt: P = P₁ + P₂
- Sammellinse: f und P positiv; Zerstreuungslinse: f und P negativ
Gelöste Beispiele
1. Berechne die Brechkraft einer Sammellinse mit der Brennweite 50 cm.
f = +0.5 m. P = 1/f = 1/0.5 = +2 D.
2. Ein Optiker verschreibt eine Linse mit der Brechkraft −2.5 D. Welche Art von Linse ist das und wie groß ist ihre Brennweite?
Negative Brechkraft → Zerstreuungslinse. f = 1/P = 1/(−2.5) = −0.4 m = −40 cm.
3. Ein Gegenstand steht 15 cm vor einer Sammellinse mit der Brennweite 10 cm. Berechne Bildposition und Vergrößerung.
u = −15, f = +10. 1/v = 1/f + 1/u = 1/10 − 1/15 = (3 − 2)/30 = 1/30, also v = +30 cm. m = v/u = 30/(−15) = −2. Reell, umgekehrt, doppelt so groß, 30 cm entfernt auf der anderen Seite.
4. Ein Gegenstand steht 10 cm vor einer Sammellinse mit der Brennweite 15 cm. Beschreibe das Bild.
u = −10, f = +15. 1/v = 1/15 − 1/10 = (2 − 3)/30 = −1/30, also v = −30 cm. m = v/u = (−30)/(−10) = +3. Virtuell, aufrecht, 3-fach vergrößert, auf derselben Seite wie der Gegenstand: eine Lupe.
5. Ein Gegenstand steht 30 cm vor einer Zerstreuungslinse mit der Brennweite 15 cm. Berechne das Bild.
u = −30, f = −15. 1/v = −1/15 − 1/30 = (−2 − 1)/30 = −3/30, also v = −10 cm. m = (−10)/(−30) = +1/3. Virtuell, aufrecht, ein Drittel so groß, 10 cm von der Linse entfernt auf der Seite des Gegenstands.
6. Eine Sammellinse erzeugt auf einem Schirm, 60 cm von der Linse entfernt, ein reelles Bild, das 3-mal so groß ist wie der Gegenstand. Berechne Gegenstandsweite, Brennweite und Brechkraft.
Reelles Bild: v = +60 cm, m = −3. m = v/u → u = v/m = 60/(−3) = −20 cm. 1/f = 1/v − 1/u = 1/60 + 1/20 = 4/60, also f = +15 cm. P = 100/15 ≈ +6.67 D.
7. Zwei dünne Linsen mit +2.5 D und −1.0 D liegen aneinander. Berechne Brechkraft und Brennweite der Kombination.
P = P₁ + P₂ = 2.5 − 1.0 = +1.5 D. f = 1/P = 1/1.5 ≈ 0.667 m ≈ 66.7 cm. Die Kombination wirkt wie eine Sammellinse.
Häufige Fehler
- Die Spiegelgleichung (1/v + 1/u) für eine Linse benutzen. Für Linsen heißt sie 1/v − 1/u = 1/f.
- f in Zentimetern in P = 1/f einsetzen. Nimm Meter, oder benutze P = 100/f mit f in cm.
- m = −v/u für Linsen schreiben. Für Linsen gilt m = v/u.
- Behaupten, eine Zerstreuungslinse könne von einem realen Gegenstand ein reelles Bild erzeugen. Sie erzeugt immer ein virtuelles, aufrechtes, verkleinertes Bild.