निर्धारणवाद और पूर्वानुमेयता
कोई निकाय निर्धारणवादी (deterministic) है जब उसके नियम पक्के हों: शुरुआत ठीक-ठीक पता हो तो भविष्य तय है। झूलता पेंडुलम, गिरता पत्थर और ग्रह की कक्षा ऐसे ही हैं।
ऐसे बहुत-से निकायों का भविष्य हम बहुत आगे तक बता भी सकते हैं। शुरुआत की छोटी गलती छोटी ही रहती है। इसीलिए ग्रहण का समय सालों पहले पता होता है।
निर्धारणवाद और अपूर्वानुमेयता
कुछ निर्धारणवादी निकाय अराजक (chaotic) होते हैं। नियम पक्के हैं, फिर भी शुरुआत की बहुत छोटी गलती बार-बार दुगुनी होती जाती है। कुछ देर बाद गलती पूरी गति जितनी बड़ी हो जाती है और भविष्यवाणी बेकार हो जाती है।
यही तितली प्रभाव है: मॉडल में तितली के पंख की छोटी-सी फड़फड़ाहट हफ़्तों बाद का मौसम बदल सकती है। अराजकता बेतरतीबी नहीं है। ठीक वही शुरुआत दोहराओ तो ठीक वही गति मिलेगी। पर शुरुआत को हम पूरी सटीकता से माप नहीं सकते।
अराजक निकाय के तीन लक्षण: पक्के नियम, शुरुआत के प्रति बहुत संवेदनशीलता, और ऐसी गति जो दोहराती नहीं।
फेज़-स्पेस और आकर्षक (Attractor)
फेज़-स्पेस ऐसा ग्राफ है जिसमें एक बिंदु निकाय की पूरी अवस्था दिखाता है। पेंडुलम की अवस्था है उसका कोण और उसकी गति। समय के साथ बिंदु चलकर एक पथ बनाता है।
- घर्षण-रहित साधारण पेंडुलम बंद छल्ला बनाता है।
- घर्षण हो तो पथ घूमते-घूमते एक बिंदु पर आ जाता है: पेंडुलम रुक जाता है। वह बिंदु आकर्षक (attractor) है, यानी वह जगह जिसकी ओर पथ खिंचता है।
- अराजक निकाय उलझा पथ बनाता है जो न बंद होता है, न खुद को काटता है। उसके आकर्षक को विचित्र आकर्षक (strange attractor) कहते हैं।
फ्रैक्टल ज्यामिति
फ्रैक्टल ऐसा आकार है जो हर ज़ूम पर एक जैसा दिखता है। विचित्र आकर्षक फ्रैक्टल होते हैं, और तटरेखा, फर्न की पत्ती और बादल भी।
कोच वक्र ऐसे बनता है: एक रेखा लो, उसे 3 बराबर भागों में बाँटो, बीच वाले भाग की जगह छोटे त्रिभुज की दो भुजाएँ लगाओ। हर नई रेखा पर यही दोहराओ। स्तर n पर 4ⁿ रेखाएँ होती हैं, हर एक पहले की 1/3 लंबी, इसलिए कुल लंबाई हर बार 4/3 गुना बढ़ती है और उसकी कोई सीमा नहीं। देखें फ्रैक्टल और सीरपिंस्की त्रिभुज।
अराजकता क्यों ज़रूरी है
- मौसम: पूर्वानुमान लगभग 10-14 दिन बाद गलत हो जाते हैं।
- दिल की धड़कन और आबादी का घटना-बढ़ना अराजक हो सकता है।
- सुरक्षित कोड और बेतरतीब-से दिखने वाली संख्याएँ अराजक गणित से बनती हैं।
अराजकता विज्ञान की एक सीमा बताती है: नियम जानना हमेशा भविष्य जानने के लिए काफ़ी नहीं होता।
करके देखो
धागे से छोटा वज़न लटकाओ और उसके नीचे दूसरा छोटा वज़न बाँध दो। इसे लगभग एक ही जगह से दो बार छोड़ो। दोनों बार की गति में फ़र्क देखो। 3D में शुरुआती फ़र्क 0.0001 करके "फिर से शुरू" दबाओ। क्या दूरी फिर भी बढ़ती है?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- पूर्वानुमेय निकाय: शुरुआती गलती छोटी रहती है
- अराजक निकाय: गलती लगभग e^(λt) की तरह बढ़ती है (λ > 0)। जैसे हर सेकंड दुगुनी: गलती ×2ᵗ
- कोच वक्र: स्तर n पर रेखाएँ = 4ⁿ; कुल लंबाई = (4/3)ⁿ × पहली लंबाई
- पेंडुलम का फेज़-स्पेस: x-अक्ष = कोण, y-अक्ष = गति
हल किए गए उदाहरण
1. दो डबल पेंडुलम के बीच का अंतर 0.001 से शुरू होकर हर सेकंड दुगुना होता है। 10 s बाद कितना होगा?
0.001 × 2¹⁰ = 0.001 × 1024 = 1.024। अब अंतर पूरी छड़ से बड़ा है।
2. स्तर 3 पर कोच वक्र में कितनी रेखाएँ हैं?
4³ = 64 रेखाएँ।
3. पहली कोच रेखा 9 cm लंबी है। स्तर 2 पर वक्र की लंबाई?
लंबाई = 9 × (4/3)² = 9 × 16/9 = 16 cm।
4. पेंडुलम घर्षण से ऊर्जा खोता है। उसका फेज़-स्पेस पथ क्या करेगा?
पथ घूमते हुए केंद्र बिंदु (कोण 0, गति 0) की ओर जाएगा। वह बिंदु आकर्षक है।
5. पासे का फेंकना अराजकता है या नहीं? कारण बताओ।
रोज़ की भाषा में उसे बेतरतीब कहते हैं, पर भौतिकी में वह निर्धारणवादी है और फेंकने के छोटे बदलाव से बहुत बदलता है। हम उसे इतना सटीक माप नहीं सकते, इसलिए उसे बेतरतीब मानते हैं।
6. मौसम मॉडल में आज 1% गलती है जो हर 2 दिन में दुगुनी होती है। लगभग 16% गलती कितने दिन में होगी?
1% → 2% → 4% → 8% → 16%, यानी 4 बार दुगुनी = 8 दिन।
आम गलतियाँ
- अराजकता को बेतरतीबी समझना। अराजकता में पक्के नियम चलते हैं।
- तितली प्रभाव का मतलब यह समझना कि तितली सचमुच तूफ़ान लाती है। इसका मतलब है कि निकाय बहुत संवेदनशील है।
- सोचना कि बेहतर कंप्यूटर से हल हो जाएगा। शुरुआत को पूरी तरह माप नहीं सकते, इसलिए लंबे पूर्वानुमान हमेशा चूकते हैं।
- हर फ्रैक्टल को अराजक समझना। फ्रैक्टल आकार है, अराजकता व्यवहार है। विचित्र आकर्षक फ्रैक्टल आकार के होते हैं।