संख्या एल्गोरिदम

संख्या के अंक निकालना

कंप्यूटर संख्या को आपकी तरह एक नज़र में नहीं देख सकता। वह दो छोटे औज़ारों से एक-एक अंक छीलता है।

• n % 10 यानी n को 10 से भाग देने पर शेषफल। यही आख़िरी अंक है। 472 % 10 = 2।
• n ÷ 10 (पूर्ण संख्या में भाग) उस अंक को हटा देता है। 472 ÷ 10 = 47।

जब तक n शून्य न हो, दोहराइए। हर अंक को जोड़ते जाइए तो अंकों का जोड़ मिलता है: 2 + 7 + 4 = 13। चक्र गिनिए तो अंकों की संख्या मिलती है। rev = rev × 10 + अंक से संख्या का उल्टा रूप बनता है।

चक्र रुकता क्यों है

हर बार n लगभग दस गुना छोटा हो जाता है। जितने अंक हैं उतने चक्रों के बाद n शून्य हो जाता है।

भाजक, गुणज और अभाज्य संख्याएँ

n का भाजक वह संख्या है जिससे n पूरा बँट जाए (शेषफल 0)। n का गुणज है n × 1, n × 2, n × 3 आदि।

भाजक जोड़ों में आते हैं: अगर 2 से 12 बँटता है तो 12 ÷ 2 = 6 से भी बँटता है। इसलिए प्रोग्राम को सिर्फ़ n के वर्गमूल तक जाँच करनी होती है। 36 के जोड़े हैं (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9) और अकेला 6।

अभाज्य संख्या के ठीक दो भाजक होते हैं: 1 और वह स्वयं (2, 3, 5, 7, 11…)। 1 अभाज्य नहीं है। जिसके दो से ज़्यादा भाजक हों वह भाज्य (संयुक्त) संख्या है।

अभाज्य गुणनखंडन

1 से बड़ी हर संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ही तरह लिखी जा सकती है (क्रम छोड़कर)। इसे पाने के लिए सबसे छोटी काम आने वाली अभाज्य संख्या से बार-बार भाग दीजिए।

उदाहरण: 360 ÷ 2 = 180, ÷ 2 = 90, ÷ 2 = 45, ÷ 3 = 15, ÷ 3 = 5, ÷ 5 = 1। इसलिए 360 = 2³ × 3² × 5।

भाजकों की गिनती: हर घात में 1 जोड़कर गुणा कीजिए। 360 के लिए (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 भाजक।

यूक्लिड एल्गोरिदम से म.स.

म.स. (महत्तम समापवर्तक) वह सबसे बड़ी संख्या है जो a और b दोनों को पूरा भाग दे।

घटाकर

बड़ी संख्या की जगह दोनों का अंतर रखिए। जब दोनों बराबर हो जाएँ तो रुकिए। म.स.(48, 18): 48 − 18 = 30, 30 − 18 = 12, 18 − 12 = 6, 12 − 6 = 6। जोड़ी (6, 6) बनी, इसलिए म.स. 6 है। 3D में यह वर्ग काटना है।

भाग देकर (तेज़)

a = q × b + r लिखिए। तब म.स.(a, b) = म.स.(b, r)। जब r = 0 हो जाए तो रुकिए; आख़िरी भाजक ही म.स. है। 48 = 2 × 18 + 12, 18 = 1 × 12 + 6, 12 = 2 × 6 + 0, इसलिए म.स. 6।

बोनस: ल.स. = a × b ÷ म.स.।

संख्या का आधार बदलना

हमारी रोज़ की संख्याएँ आधार 10 में हैं: दस अंक 0 से 9। कंप्यूटर आधार 2 (बाइनरी) में चलता है: सिर्फ़ 0 और 1। आधार b में स्थानीय मान b की घातें होते हैं।

दशमलव से आधार b में

b से बार-बार भाग दीजिए और शेषफल लिखिए। उन्हें आख़िर से शुरू की ओर पढ़िए। 13 → 13 ÷ 2 = 6 शेष 1, 6 ÷ 2 = 3 शेष 0, 3 ÷ 2 = 1 शेष 1, 1 ÷ 2 = 0 शेष 1। ऊपर की ओर पढ़ने पर 1101।

आधार b से दशमलव में

हर अंक को उसके स्थानीय मान से गुणा करके जोड़िए। 1101₂ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13।

करके देखिए: माचिस की तीलियों से

48 तीलियाँ और 18 पिनें लीजिए। बिना कुछ बचाए सबसे बड़े बराबर समूह बनाइए। कितने समूह बने, गिनिए। यूक्लिड विधि से जाँचिए। फिर दोस्त के साथ 13 को बल्बों (8, 4, 1) में लिखिए: अपनी उम्र बाइनरी में पहले कौन लिखता है?

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• आख़िरी अंक = n % 10; बाकी हिस्सा = n ÷ 10
• a = q × b + r, जहाँ 0 ≤ r < b
• म.स.(a, b) = म.स.(b, a mod b); शेषफल 0 होने पर रुकें
• म.स. × ल.स. = a × b
• n = p^x · q^y · r^z के भाजकों की संख्या = (x+1)(y+1)(z+1)
• आधार b में मान: d₂·b² + d₁·b + d₀

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• आधार बदलते समय शेषफल पहले से आख़िर की ओर पढ़ लेना। हमेशा आख़िर से पहले की ओर पढ़िए।
• 1 को अभाज्य कहना। अभाज्य के ठीक दो भाजक होते हैं, और 1 का सिर्फ़ एक है।
• यूक्लिड विधि में एक चरण पहले रुक जाना। शेषफल 0 होने पर ही रुकिए; उसी चरण का भाजक म.स. है।
• भाजक और गुणज को गड़बड़ा देना। 3, 12 का भाजक है; 24, 12 का गुणज है।