¿Qué es un modelo matemático?
Un modelo es una copia sencilla de algo real. Un coche de juguete es un modelo de un coche. Un modelo matemático usa números, ecuaciones, gráficas o tablas en lugar de plástico.
Ejemplos:
- Tarifa de un taxi: y = 12x + 50
- Área de un jardín cuadrado de lado s: A = s²
- Dinero en un banco al 5 % anual: A = P × 1.05ᵗ
Un modelo tiene variables (lo que cambia), parámetros (números fijos como 12 y 50) y suposiciones (lo que decidimos ignorar para simplificar).
El ciclo de modelado
- Entender el problema. ¿Qué queremos saber?
- Hacer suposiciones y elegir variables. Decide la entrada (variable independiente) y la salida (variable dependiente). Anota lo que ignoras.
- Construir el modelo. Usa una tabla, una gráfica o una ecuación. Fíjate en la forma de los datos.
- Resolver. Usa el modelo para calcular o predecir.
- Interpretar. Convierte la respuesta matemática en palabras, con sus unidades.
- Validar (comprobar). Compara con datos reales. Si el error es demasiado grande, cambia las suposiciones o el modelo y da otra vuelta.
Es un círculo, no una línea recta. Científicos e ingenieros dan muchas vueltas.
Elegir el tipo de modelo adecuado
Lineal: y = mx + c
Pasos iguales en x dan diferencias iguales en y. Ejemplo: tarifas, planes de teléfono, una vela que se consume.
Cuadrático: y = ax² + bx + c
La gráfica es una parábola. Las segundas diferencias son iguales. Ejemplo: la altura de una pelota lanzada, el área de un cuadrado.
Exponencial: y = a × bˣ
Pasos iguales en x dan cocientes iguales en y (el valor se multiplica cada vez). Ejemplo: bacterias que se duplican, interés compuesto, una taza de té que se enfría.
Periódico (trigonométrico)
Se repite en ciclos. Ejemplo: las mareas, las horas de luz a lo largo del año.
Cómo decidir
Dibuja los datos. Revisa las diferencias (lineal), las segundas diferencias (cuadrático) o los cocientes (exponencial). Elige el modelo más sencillo con un error pequeño.
Comprobar un modelo: error, ajuste y límites
El error (residuo) es valor real − valor del modelo. Errores pequeños significan un buen ajuste.
La recta de mejor ajuste es la recta que hace los errores lo más pequeños posible en conjunto (los ordenadores usan "mínimos cuadrados": hacen mínima la suma de los errores al cuadrado).
Interpolar (predecir dentro del rango de los datos) suele ser seguro. Extrapolar (predecir muy lejos de ese rango) es arriesgado: un niño crece unos 6 cm al año, ¡pero el modelo falla a los 40 años!
Indica siempre el dominio donde funciona el modelo y las suposiciones que hiciste. Los modelos se usan en ciencia, economía, medicina y tecnología, y cada uno tiene sus límites.
Fórmulas y definiciones clave
- Lineal: y = mx + c (m = tasa de cambio, c = valor inicial)
- Cuadrático: y = ax² + bx + c
- Exponencial: y = a × bˣ (b > 1 crecimiento, 0 < b < 1 decrecimiento)
- Error (residuo) = valor real − valor del modelo
- Error porcentual = |error| ÷ valor real × 100 %
Ejemplos resueltos
1. Un fontanero cobra ₹200 por la visita más ₹150 por hora. Escribe un modelo y halla el costo de 3 horas.
Sea h = horas, C = costo. C = 150h + 200. Para h = 3: C = 450 + 200 = ₹650.
2. Una tabla: x = 0, 1, 2, 3 da y = 5, 8, 11, 14. ¿Qué modelo se ajusta?
Las diferencias son 3, 3, 3 (iguales), así que es lineal: y = 3x + 5.
3. Una tabla: x = 0, 1, 2, 3 da y = 3, 6, 12, 24. ¿Qué modelo se ajusta?
Los cocientes son 2, 2, 2 (iguales), así que es exponencial: y = 3 × 2ˣ.
4. La altura de una pelota se modela con h = −5t² + 20t + 1 (metros, segundos). Halla la altura máxima.
El punto más alto está en t = −b/(2a) = −20/(−10) = 2 s. h = −20 + 40 + 1 = 21 m.
5. Un modelo predice 480 visitantes; el número real fue 520. Halla el error y el error porcentual.
Error = 520 − 480 = 40. Error porcentual = 40 ÷ 520 × 100 ≈ 7.7 %.
6. Una ciudad de 50 000 habitantes crece un 4 % al año. Modela el crecimiento y predice la población a los 5 años.
P = 50 000 × 1.04ᵗ. Para t = 5: 50 000 × 1.2167 ≈ 60 800 personas (suponiendo que la tasa se mantiene en 4 %).
Errores comunes
- Olvidar escribir las suposiciones. Todo modelo ignora algo; di qué.
- Usar una recta para datos que se curvan. Revisa antes las diferencias y los cocientes.
- Fiarse de predicciones muy lejos de los datos (extrapolación) sin avisar.
- Dar la respuesta matemática sin unidades ni significado, como "230" en vez de "un viaje de 15 km cuesta unos ₹230".