बिंदु और तीर (सदिश)
ग्रिड पर हर बिंदु की दो संख्याएँ होती हैं, (x, y)। बिंदु P से बिंदु Q तक का तीर भी दो संख्याएँ है: (Qx − Px, Qy − Py)। यह बताता है कि कितना दाईं ओर और कितना ऊपर जाना है। तीर को सदिश (vector) भी कहते हैं।
उदाहरण: A = (−4, −2) और B = (3, −1)। तीर AB = (3 − (−4), −1 − (−2)) = (7, 1)।
दो तीरों का क्रॉस गुणनफल
दो तीर u = (a, b) और v = (c, d) का क्रॉस गुणनफल एक संख्या होती है:
u × v = a·d − b·c
u और v को एक ही बिंदु से खींचकर समांतर चतुर्भुज पूरा करो। उसका क्षेत्रफल |u × v| है। यानी क्रॉस गुणनफल एक चिह्न वाला क्षेत्रफल है। उन्हीं दो तीरों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल इसका आधा होता है।
मोड़ की दिशा: बायाँ, दायाँ या सीधा
तीन बिंदु A, B, C लो। निकालो क्रॉस = (B − A) × (C − A)। यह (B − A) × (C − B) के बराबर भी होता है, इसलिए यह वही मोड़ है जो A → B → C चलते समय B पर लेते हो।
- क्रॉस > 0: बायाँ मोड़ (घड़ी की उलटी दिशा)।
- क्रॉस < 0: दायाँ मोड़ (घड़ी की दिशा)।
- क्रॉस = 0: A, B, C एक सीधी रेखा में हैं (संरेखी)।
न कोण चाहिए, न वर्गमूल, न भाग। सिर्फ पूर्णांकों का गणित, इसलिए कंप्यूटर में गोल करने की कोई गलती नहीं होती।
बहुभुज का क्षेत्रफल
एक कोना V0 चुनो। उसे बाकी कोनों से जोड़ो। n कोनों वाला बहुभुज n − 2 त्रिभुजों (V0, Vk, Vk+1) में बँट जाता है। उनके चिह्न वाले क्षेत्रफल जोड़ो:
क्षेत्रफल = ½ × (क्रॉस(V0, Vk, Vk+1) का योग)
कोने घड़ी की उलटी दिशा में हों तो हर पद धनात्मक आता है। घड़ी की दिशा में हों तो उत्तर ऋणात्मक आता है, तब निरपेक्ष मान ले लो। शू-लेस सूत्र (shoelace formula) भी यही संख्या देता है: ½ |Σ (xi·yi+1 − xi+1·yi)|, कोनों पर एक चक्कर लगाकर। यह हर उस बहुभुज पर चलता है जिसकी भुजाएँ एक-दूसरे को नहीं काटतीं, चाहे उसमें गड्ढा (दबा हुआ कोना) हो।
उत्तल हल (कॉन्वेक्स हल)
कोई आकृति उत्तल (convex) है यदि उसके अंदर के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा भी अंदर ही रहे। बिंदुओं के समूह का उत्तल हल वह सबसे छोटी उत्तल आकृति है जिसमें सारे बिंदु आ जाएँ। सोचो कि बोर्ड में कीलें हैं और उनके चारों ओर रबर बैंड कसा है।
मोनोटोन चेन विधि: 1) बिंदुओं को x से (फिर y से) क्रम में लगाओ। 2) नीचे की श्रृंखला बाएँ से दाएँ बनाओ: हर बिंदु जोड़ो, और जब तक अंतिम तीन बिंदु बाएँ मोड़ न बनाएँ, बीच वाला हटाते जाओ। 3) ऊपर की श्रृंखला दाएँ से बाएँ इसी तरह बनाओ। 4) दोनों श्रृंखलाएँ जोड़ दो। समय लगभग n log n लगता है, क्योंकि क्रम लगाने में ही सबसे ज़्यादा समय जाता है।
खुद करके देखो: कीलें और धागा
कागज़ पर 10 बिंदु बनाओ, या कॉर्क बोर्ड में 10 पिनें लगाओ। पहले अंदाज़ा लगाओ कि कौन से बिंदु हल पर होंगे। फिर धागा या रबर बैंड लपेटकर जाँचो। बैंड के किसी एक कोने के तीन बिंदु A, B, C लेकर क्रॉस गुणनफल निकालो: घड़ी की उलटी दिशा में चलो तो वह धनात्मक आना चाहिए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- तीर PQ = (Qx − Px, Qy − Py)
- u × v = ux·vy − uy·vx
- मोड़(A, B, C) = (B − A) × (C − A): > 0 बायाँ, < 0 दायाँ, = 0 सीधा
- त्रिभुज का क्षेत्रफल = |क्रॉस| / 2
- बहुभुज का क्षेत्रफल = ½ |Σ (xi·yi+1 − xi+1·yi)| (शू-लेस)
- उत्तल हल: सिर्फ बाएँ मोड़ रखो (क्रॉस ≤ 0 हो तो बीच का बिंदु हटाओ)
हल किए गए उदाहरण
1. u = (2, 1) और v = (1, 3) के लिए u × v निकालो। चिह्न क्या बताता है?
u × v = 2×3 − 1×1 = 6 − 1 = 5। यह धनात्मक है, यानी v, u से घड़ी की उलटी दिशा में (बाईं ओर) घूमा है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 5 है।
2. A(0, 0) → B(4, 1) → C(6, −2) चलने पर B पर बायाँ मोड़ है या दायाँ?
AB = (4, 1), BC = (2, −3)। क्रॉस = 4×(−3) − 1×2 = −12 − 2 = −14। ऋणात्मक है, इसलिए दायाँ मोड़ है।
3. क्या A(1, 1), B(3, 2), C(7, 4) एक सीधी रेखा में हैं?
AB = (2, 1), AC = (6, 3)। क्रॉस = 2×3 − 1×6 = 0। शून्य है, इसलिए तीनों बिंदु संरेखी हैं।
4. A(1, 1), B(6, 2), C(3, 5) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालो।
AB = (5, 1), AC = (2, 4)। क्रॉस = 5×4 − 1×2 = 18। क्षेत्रफल = 18 / 2 = 9 वर्ग इकाई।
5. (0,0), (5,0), (5,3), (2,4), (0,3) बहुभुज का क्षेत्रफल (0,0) से बने त्रिभुजों द्वारा निकालो।
T1 = (0,0),(5,0),(5,3): क्रॉस (5,0)×(5,3) = 15, क्षेत्रफल 7.5। T2 = (0,0),(5,3),(2,4): क्रॉस (5,3)×(2,4) = 20 − 6 = 14, क्षेत्रफल 7। T3 = (0,0),(2,4),(0,3): क्रॉस (2,4)×(0,3) = 6, क्षेत्रफल 3। कुल = 7.5 + 7 + 3 = 17.5 वर्ग इकाई।
6. (0,0), (4,0), (2,1), (4,4), (0,4), (1,2), (3,3) का उत्तल हल कौन से बिंदुओं से बनेगा?
चार कोने (0,0), (4,0), (4,4), (0,4) एक वर्ग बनाते हैं। बाकी तीन बिंदु (2,1), (1,2) और (3,3) उसके अंदर हैं। इसलिए हल इन 4 कोनों से बनता है, क्रम में (0,0) → (4,0) → (4,4) → (0,4)। घूमते समय हर मोड़ बायाँ है।
7. A, B, C हैं (0,0), (6,0), (3,−2)। क्षेत्रफल निकालो और बताओ कि क्रम A, B, C घड़ी की दिशा में है या नहीं।
AB = (6, 0), AC = (3, −2)। क्रॉस = 6×(−2) − 0×3 = −12। क्षेत्रफल = 12 / 2 = 6। ऋणात्मक क्रॉस का मतलब है कि A → B → C घड़ी की दिशा में है।
आम गलतियाँ
- माइनस का चिह्न भूल जाना: क्रॉस गुणनफल a·d − b·c है, a·d + b·c नहीं।
- क्रम बदल देना: u × v = −(v × u)। क्रम बदलने से बायाँ और दायाँ उलट जाते हैं।
- क्षेत्रफल ऋणात्मक लिख देना। निरपेक्ष मान लो, और चिह्न का उपयोग सिर्फ दिशा जानने के लिए करो।
- हल से बिंदु तभी हटाना जब क्रॉस < 0 हो। क्रॉस ≤ 0 होने पर हटाओ, ताकि एक ही रेखा पर पड़े बिंदु भी हट जाएँ।